12.1-bo'lim : 3-D koordinata tizimi
3. \(P = \left( { - 1,4, - 7} \right)\) va \(Q = \left( {6, - 1,5} \right)\) nuqtalaridan qaysi biri \(z\) o'qiga yaqinroq?
Yechim
Birinchidan, \(z\) o'qidagi har qanday nuqtaning koordinatalari \(\left( {0,0,z} \right)\) bo'lishini ta'kidlaymiz.
Shuningdek, \(z\) o'qida bo'lmagan har qanday nuqtadan \(z\) o'qigacha bo'lgan eng qisqa masofa, agar biz nuqtadan \(z\) o'qiga to'g'ri chiziq chizsak, u bilan to'g'ri burchak hosil qiladigan tarzda yuzaga keladi. z‑o'qi.
Shunday qilib, agar biz \(z\) o'qida bo'lmagan har qanday nuqtadan boshlasak, deylik \(\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \(z\) o'qida ushbu nuqtaga eng yaqin bo'lgan nuqta \(\left( {0,0,{z_1}} \right)\) bo'ladi.
\(P\) va \(Q\) ga eng yaqin bo'lgan \(z\) o'qidagi nuqtani mos ravishda \(\overline{P}\) va \(\overline{Q}\) deb ataymiz. Ular,
\[\overline{P} = \left( {0,0, - 7} \right)\hspace{0.75in}\hspace{0.25in}\overline{Q} = \left( {0,0,5} \right)\]2-qadam
Ulardan qaysi biri \(z\) o'qiga yaqinroq ekanligini aniqlash uchun nuqta va uning \(z\) o'qiga proyeksiyasi orasidagi masofani hisoblashimiz kifoya.
Masofalar,
\[\begin{align*}d\left( {P,\overline{P}} \right) & = \sqrt {{{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 7 - \left( { - 7} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {17} \\ d\left( {Q,\overline{Q}} \right) & = \sqrt {{{\left( {6 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {37} \end{align*}\]Shunga asoslanib, \(P = \left( { - 1,4, - 7} \right)\) \(z\) o'qiga eng yaqin ekanligi aniq bo'lishi kerak.