11.1-bo'lim : Asosiy tushunchalar
5. \(\vec v = \left\langle {6, - 4,0} \right\rangle \) vektori \(P = \left( { - 2,5, - 1} \right)\) nuqtadan boshlanadi. Vektor qaysi nuqtada tugaydi?
Yechim
Ushbu muammoga javob berish uchun vektorning komponentlari har doim yakuniy nuqtaning koordinatalari minus boshlang'ich nuqtasi koordinatalari ekanligini esga olishimiz kerak.
Shunday qilib, agar vektorning yakuniy nuqtasi \(Q = \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) tomonidan berilgan bo'lsa, biz \(\vec v\) vektorini quyidagicha yozish mumkinligini bilamiz:
\[\vec v = \overrightarrow {PQ} = \left\langle {{x_2} + 2,{y_2} - 5,{z_2} + 1} \right\rangle \]2-qadam
Ammo biz \(\vec v\) komponentlarini ham bilamiz, shuning uchun yuqoridagi 1-bosqichdagi vektorni biz bilgan \(\vec v\) bilan tenglashtira olamiz. Shunday qilib,
\[\left\langle {{x_2} + 2,{y_2} - 5,{z_2} + 1} \right\rangle = \left\langle {6, - 4,0} \right\rangle \]3-qadam
Endi ikkita vektor teng bo'lsa, mos keladigan komponentlar teng bo'lishi kerak. Yoki,
\[\begin{align*}{x_2} + 2 & = 6 & \hspace{0.1in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{x_2} & = 4\\ {y_2} - 5 & = - 4\hspace{0.1in} & \Rightarrow \hspace{0.5in}{y_2} & = 1\\ {z_2} + 1 & = 0 & \hspace{0.1in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{z_2} & = - 1\end{align*}\]Yuqorida ta'kidlanganidek, bu yakuniy nuqtaning koordinatalarini aniqlash uchun echishimiz mumkin bo'lgan uchta juda oddiy tenglamaga olib keladi.
Vektorning so'nggi nuqtasi u holda,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{Q = \left( {4,1, - 1} \right)}}\]