Asosiy tarkibga o'tish

7.3-bo'lim : Triglarni almashtirish

7. \({\left( {{x^2} - 8x + 21} \right)^{\frac{3}{2}}}\) da ildizni yo'q qilish uchun trig almashtirishdan foydalaning.

Yechim

Biz bilamizki, trigni almashtirishni amalga oshirish uchun bizga kvadrat va sonli o'zgaruvchining yig'indisi yoki farqi kerak. Bu aniq shaklga mos kelmaydi. Biroq, bu biz trig almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin bo'lgan shaklga kirish uchun ildiz ostidagi miqdorni algebraik manipulyatsiya qila olmaymiz degani emas.

Ildiz ostidagi miqdor kvadratik ko'phad bo'lgani uchun, biz bilamizki, kvadratni to'ldirib, uni trigni almashtirish uchun kerak bo'lgan narsaga aylantirishimiz mumkin.

Bu erda kvadrat ishini yakunlash.

\[\begin{align*}{x^2} - 8x + 21 & = {x^2} - 8x + 16 - 16 + 21\hspace{0.75in}{\left[ {\frac{1}{2}\left( { - 8} \right)} \right]^2} = {\left[ { - 4} \right]^2} = 16\\ & = {\left( {x - 4} \right)^2} + 5\end{align*}\]

Shunday qilib, kvadratni to'ldirgandan so'ng, atama quyidagicha yozilishi mumkin:

\[{\left( {{x^2} - 8x + 21} \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 5} \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left[ {\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 5} } \right]^3}\]

E'tibor bering, biz muammoning ildizini ham aniq qo'yamiz.

2-qadam

Demak, bu holda bizda o‘zgaruvchisi va soni bo‘lgan kvadratik hadning yig‘indisi borligini ko‘ramiz. Bu shuni ko'rsatadiki, tangens podstansiya uchun to'g'ri ishga tushirish funktsiyasidir.

Endi, trig funksiyasi bo'yicha koeffitsientni olish uchun biz 1 ni aylantirishimiz kerakligiga e'tibor bering (i.e. almashtirishni amalga oshirganimizdan so'ng kvadratik hadning koeffitsientini 5 ga aylantiramiz. Shuni inobatga olgan holda, almashtirish bo'lishi kerakdek tuyuladi,

\[x - 4 = \sqrt 5 \tan \left( \theta \right)\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, aslida almashtirishni amalga oshirish va ildizni yo'q qilishdir.

3-qadam
\[\begin{align*}{\left( {{x^2} - 8x + 21} \right)^{\frac{3}{2}}} & = {\left[ {\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 5} } \right]^3} = {\left[ {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 \tan \left( \theta \right)} \right)}^2} + 5} } \right]^3}\\ & = {\left[ {\sqrt {5{{\tan }^2}\left( \theta \right) + 5} } \right]^3} = {\left[ {\sqrt 5 \sqrt {{{\tan }^2}\left( \theta \right) + 1} } \right]^3}\\ & = {\left[ {\sqrt 5 \sqrt {{{\sec }^2}\left( \theta \right)} } \right]^3} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{5^{\frac{3}{2}}}{{\left| {\sec \left( \theta \right)} \right|}^3}}}\end{align*}\]

Esda tutingki, biz \(\theta \) qiymatlarini bilmaganimiz uchun sekantning ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlay olmaymiz va shuning uchun bu erda mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'lolmaymiz.