Asosiy tarkibga o'tish

7.3-bo'lim : Triglarni almashtirish

6. \(\sqrt {1 - 4z - 2{z^2}} \) da ildizni yo'q qilish uchun trig almashtirishdan foydalaning.

Yechim

Biz bilamizki, trigni almashtirishni amalga oshirish uchun bizga kvadrat va sonli o'zgaruvchining yig'indisi yoki farqi kerak. Bu aniq shaklga mos kelmaydi. Biroq, bu biz trig almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin bo'lgan shaklga kirish uchun ildiz ostidagi miqdorni algebraik manipulyatsiya qila olmaymiz degani emas.

Ildiz ostidagi miqdor kvadratik ko'phad bo'lgani uchun, biz bilamizki, kvadratni to'ldirib, uni trigni almashtirish uchun kerak bo'lgan narsaga aylantirishimiz mumkin.

Bu erda kvadrat ishini yakunlash.

\[\begin{align*}1 - 4z - 2{z^2} & = - 2\left( {{z^2} + 2z - \frac{1}{2}} \right)\hspace{0.75in}{\left[ {\frac{1}{2}\left( 2 \right)} \right]^2} = {\left[ 1 \right]^2} = 1\\ & = - 2\left( {{z^2} + 2z + 1 - 1 - \frac{1}{2}} \right)\\ & = - 2\left[ {{{\left( {z + 1} \right)}^2} - \frac{3}{2}} \right]\\ & = 3 - 2{\left( {z + 1} \right)^2}\end{align*}\]

Shunday qilib, kvadratni to'ldirgandan so'ng, atama quyidagicha yozilishi mumkin:

\[\sqrt {1 - 4z - 2{z^2}} = \sqrt {3 - 2{{\left( {z + 1} \right)}^2}} \]
2-qadam

Demak, bu holda bizda o'zgaruvchiga ega bo'lgan son va kvadrat atama farqi borligini ko'ramiz. Bu shuni ko'rsatadiki, sinus nimstansiya uchun to'g'ri ishga tushirish funktsiyasidir.

Endi, trig funksiyasi bo'yicha koeffitsientni olish uchun biz 2 ni aylantirishimiz kerakligiga e'tibor bering (i.e. almashtirishni amalga oshirganimizdan so'ng kvadratik hadning koeffitsientini 3 ga aylantiramiz. Shuni inobatga olgan holda, almashtirish bo'lishi kerakdek tuyuladi,

\[z + 1 = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\sin \left( \theta \right)\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, aslida almashtirishni amalga oshirish va ildizni yo'q qilishdir.

3-qadam
\[\begin{align*}\sqrt {1 - 4z - 2{z^2}} & = \sqrt {3 - 2{{\left( {z + 1} \right)}^2}} = \sqrt {3 - 2{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\sin \left( \theta \right)} \right)}^2}} \\ & = \sqrt {3 - 3{{\sin }^2}\left( \theta \right)} = \sqrt 3 \sqrt {{{\cos }^2}\left( \theta \right)} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\sqrt 3 \left| {\cos \left( \theta \right)} \right|}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz \(\theta \) qiymatlarini bilmaganimiz uchun kosinusning ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlay olmaymiz va shuning uchun bu erda mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'lolmaymiz.