Asosiy tarkibga o'tish

7.3-bo'lim : Triglarni almashtirish

5. \(\sqrt {4{{\left( {9t - 5} \right)}^2} + 1} \) da ildizni yo'q qilish uchun trig almashtirishdan foydalaning.

Yechim

Xo'sh, avvalo, tan olishimiz kerakki, bu ushbu bo'limdagi birinchi muammolardan biroz farq qiladi. Biroq, aslida hammasi unchalik farq qilmaydi. Bizda hali ham o'zgaruvchisi va soni bo'lgan kvadratik atamaning yig'indisi mavjud. Bu quyidagi trig identifikatoriga o'xshaydi (odatdagidek koeffitsientlarga e'tibor bermaslik).

\[{\tan ^2}\left( \theta \right) + 1 = {\sec ^2}\left( \theta \right)\]

Shunday qilib, tangens bu yerda almashtirish uchun foydalanishimiz kerak bo'lgan trig funksiyasi va biz endi shartlardagi raqamlar bilan shug'ullanishimiz va almashtirishni sozlashimiz kerak.

2-qadam

Trig funktsiyasidagi koeffitsient bilan ishlashdan oldin, biz bu holda \(9t - 5\) ni almashtiramiz, chunki bu birinchi hadda kvadratga olinadigan miqdordir.

Shunday qilib, trig funktsiyasi bo'yicha koeffitsientni olish uchun biz 4 ni aylantirishimiz kerakligiga e'tibor bering (i.e. almashtirishni amalga oshirganimizdan so'ng kvadratik hadning koeffitsientini 1 ga aylantiramiz. Shuni inobatga olgan holda, almashtirish bo'lishi kerakdek tuyuladi,

\[9t - 5 = \frac{1}{2}\tan \left( \theta \right)\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, aslida almashtirishni amalga oshirish va ildizni yo'q qilishdir.

3-qadam
\[\begin{align*}\sqrt {4{{\left( {9t - 5} \right)}^2} + 1} & = \sqrt {4{{\left( {\frac{1}{2}\tan \left( \theta \right)} \right)}^2} + 1} = \sqrt {4\left( {\frac{1}{4}} \right){{\tan }^2}\left( \theta \right) + 1} = \sqrt {{{\tan }^2}\left( \theta \right) + 1} \\ & = \sqrt {{{\sec }^2}\left( \theta \right)} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\left| {\sec \left( \theta \right)} \right|}}\end{align*}\]

Esda tutingki, biz \(\theta \) qiymatlarini bilmaganimiz uchun sekantning ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlay olmaymiz va shuning uchun bu erda mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'lolmaymiz.