Asosiy tarkibga o'tish

7.3-bo'lim : Triglarni almashtirish

3. \({\left( {7{t^2} - 3} \right)^{\frac{5}{2}}}\) da ildizni yo'q qilish uchun trig almashtirishdan foydalaning.

Yechim

Birinchidan, bu erda haqiqatan ham ildiz borligiga e'tibor bering, chunki atama quyidagicha yozilishi mumkin:

\[{\left( {7{t^2} - 3} \right)^{\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{\left( {7{t^2} - 3} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]^5} = {\left[ {\sqrt {7{t^2} - 3} } \right]^5}\]

Endi biz almashtirish uchun qaysi trig funktsiyasidan foydalanishni aniqlashimiz kerak. Ushbu eslatmani aniqlash uchun (raqamlarga e'tibor bermaslik) ildiz ostidagi miqdor identifikatsiyaga o'xshash ko'rinadi,

\[{\sec ^2}\left( \theta \right) - 1 = {\tan ^2}\left( \theta \right)\]

Shunday qilib, sekant, ehtimol, almashtirish uchun ishlatiladigan to'g'ri trig funktsiyasidir. Endi biz ikkita shartdagi raqamlar bilan shug'ullanishimiz kerak.

2-qadam

Trig funktsiyasi bo'yicha koeffitsientni olish uchun biz \(t\) uchun trig funksiyasini o'rniga qo'yganimizdan va almashtirishning kvadratiga aylanganimizdan so'ng 7 ni 3 ga aylantirishimiz kerakligiga e'tibor bering. Shuni inobatga olgan holda, almashtirish bo'lishi kerakdek tuyuladi,

\[t = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\sec \left( \theta \right)\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, aslida almashtirishni amalga oshirish va ildizni yo'q qilishdir.

3-qadam
\[\begin{align*}{\left( {7{t^2} - 3} \right)^{\frac{5}{2}}} & = {\left[ {\sqrt {7{t^2} - 3} } \right]^5}\\ & = {\left[ {\sqrt {7{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\sec \left( \theta \right)} \right)}^2} - 3} } \right]^5} = {\left[ {\sqrt {7\left( {\frac{3}{7}} \right){{\sec }^2}\left( \theta \right) - 3} } \right]^5}\\ & = {\left[ {\sqrt {3{{\sec }^2}\left( \theta \right) - 3} } \right]^5} = {\left[ {\sqrt 3 \sqrt {{{\sec }^2}\left( \theta \right) - 1} } \right]^5}\\ & = {\left[ {\sqrt 3 \sqrt {{{\tan }^2}\left( \theta \right)} } \right]^5} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{3^{\frac{5}{2}}}{{\left| {\tan \left( \theta \right)} \right|}^5}}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz \(\theta \) qiymatlarini bilmaganimiz sababli, tangens ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlay olmaymiz va shuning uchun bu erda mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'lolmaymiz.