Asosiy tarkibga o'tish

7.3-bo'lim : Triglarni almashtirish

2. \(\sqrt {13 + 25{x^2}} \) da ildizni yo'q qilish uchun trig almashtirishdan foydalaning.

Yechim

Birinchi qadam almashtirish uchun qaysi trig funktsiyasidan foydalanishni aniqlashdir. Ushbu eslatmani aniqlash uchun (raqamlarga e'tibor bermaslik) ildiz ostidagi miqdor identifikatsiyaga o'xshash ko'rinadi,

\[1 + {\tan ^2}\left( \theta \right) = {\sec ^2}\left( \theta \right)\]

Shunday qilib, tangens, ehtimol, almashtirish uchun ishlatiladigan to'g'ri trig funktsiyasidir. Endi biz ikkita shartdagi raqamlar bilan shug'ullanishimiz kerak.

2-qadam

Trig funktsiyasi bo'yicha koeffitsientni olish uchun biz \(x\) uchun trig funksiyasini o'rniga qo'yganimizdan va almashtirishning kvadratini chiqarganimizdan so'ng 25 ni 13 ga aylantirishimiz kerakligiga e'tibor bering. Shuni inobatga olgan holda, almashtirish bo'lishi kerakdek tuyuladi,

\[x = \frac{{\sqrt {13} }}{5}\tan \left( \theta \right)\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, aslida almashtirishni amalga oshirish va ildizni yo'q qilishdir.

3-qadam
\[\begin{align*}\sqrt {13 + 25{x^2}} & = \sqrt {13 + 25{{\left( {\frac{{\sqrt {13} }}{5}\tan \left( \theta \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13 + 25\left( {\frac{{13}}{{25}}} \right){{\tan }^2}\left( \theta \right)} \\ & = \sqrt {13 + 13{{\tan }^2}\left( \theta \right)} = \sqrt {13} \sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( \theta \right)} \\ & = \sqrt {13} \sqrt {{{\sec }^2}\left( \theta \right)} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\sqrt {13} \left| {\sec \left( \theta \right)} \right|}}\end{align*}\]

Esda tutingki, biz \(\theta \) qiymatlarini bilmaganimiz uchun sekantning ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlay olmaymiz va shuning uchun bu erda mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'lolmaymiz.