Integral birinchi bosqichda yozilganidek, endi bizda raqamning yig'indisi va ildiz ostida kvadrat bo'lgan narsa borligini ko'rishimiz mumkin. Ushbu bo'limda ilgari bajarilgan masalalardan biz tangens almashtirishga o'xshashligini bilamiz. Shunday qilib, keling, quyidagi almashtirishdan foydalanamiz.

\[\sin \left( x \right) = \frac{3}{5}\tan \left( \theta \right)\]

Bir trig funksiyasini boshqasiga almashtirayotganimizdan hayajonlanmang. Ba'zida bunday muammolar bilan sodir bo'ladi. Shuni yodda tutingki, biz ehtiyot bo'lishimiz va o'zgaruvchini \(x\) dan o'zgartirishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak (i.e. asl trig funktsiyasidagi o'zgaruvchi) \(\theta \) ga (i.e. yangi trig funktsiyasidagi o'zgaruvchi).

Keyin ildizni yo'q qilaylik.

\[\sqrt {9 + 25{{\left[ {\sin \left( x \right)} \right]}^2}} = \sqrt {9 + 25{{\left[ {\frac{3}{5}\tan \left( \theta \right)} \right]}^2}} = \sqrt {9 + 9{{\tan }^2}\left( \theta \right)} = 3\sqrt {{{\sec }^2}\left( \theta \right)} = 3\left| {\sec \left( \theta \right)} \right|\]

Keyinchalik, biz noaniq integralni bajarayotganimiz uchun sekant musbat deb faraz qilamiz va shuning uchun biz olish uchun mutlaq qiymat satrlarini tashlab qo'yishimiz mumkin,

\[\sqrt {9 + 25{{\left[ {\sin \left( x \right)} \right]}^2}} = 3\sec \left( \theta \right)\]

O'zgartirishga tayyorgarlikning yakuniy bosqichi uchun, keling, differentsialni ham hisoblaylik, shuning uchun uni almashtirishda ishlatishni unutmang!

\[\cos \left( x \right)\,dx = \frac{3}{5}{\sec ^2}\left( \theta \right)\,d\theta \]

Eslatib o'tamiz, bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa almashtirishning o'ng va chap tomonlari uchun differentsialni hisoblashdir.

Endi haqiqiy almashtirishni qilaylik.

\[\begin{align*}\int{{\cos \left( x \right)\sqrt {9 + 25{{\sin }^2}\left( x \right)} \,dx}} & = \int{{\sqrt {9 + 25{{\left[ {\sin \left( x \right)} \right]}^2}} \,\,\,\,\cos \left( x \right)dx}}\\ & = \int{{\left( {3\sec \left( \theta \right)} \right)\,\,\left( {\frac{3}{5}{{\sec }^2}\left( \theta \right)} \right)d\theta }} = \frac{9}{5}\int{{{{\sec }^3}\left( \theta \right)d\theta }}\end{align*}\]

Oldingi bosqichda biz hisoblagan differensialni almashtirishni unutmang. Bu, ehtimol, triglarni almashtirishda eng keng tarqalgan xatodir. Differensialni unutish muammoni sezilarli darajada o'zgartirishi mumkin, ko'pincha integralni baholash juda qiyin bo'ladi.

Endi biz integralni baholashimiz kerak. Mana o'sha ish.

\[\int{{\cos \left( x \right)\sqrt {9 + 25{{\sin }^2}\left( x \right)} \,dx}} = \frac{9}{{10}}\left[ {\sec \left( \theta \right)\tan \left( \theta \right) + \ln \left| {\sec \left( \theta \right) + \tan \left( \theta \right)} \right|} \right] + c\]

E'tibor bering, bu triglarni almashtirish integrallaridan biri bo'lib, to'liq baholash uchun trig funktsiyalarini ko'p manipulyatsiya qilishni talab qilmaydi. Bu erda biz haqiqatan ham qilishimiz kerak bo'lgan narsa, biz oldingi bo'limda \({\sec ^3}\left( \theta \right)\) integralini aniqlaganimiz va natijani bu erda qayta ishlatishimiz edi.

Yakuniy qadam sifatida biz \(x\)-ga qaytishimiz kerak. Buning uchun bizga tez uchburchak kerak bo'ladi. Mana o'sha ish.

Bizda mavjud almashtirishdan, \[\tan \left( \theta \right) = \frac{{5\sin \left( x \right)}}{3}\,\,\,\,\,\left( { = \frac{{{\mbox{opp}}}}{{{\mbox{adj}}}}} \right)\] To'g'ri uchburchakdan biz olamiz, \[\sec \left( \theta \right) = \frac{{\sqrt {9 + 25{{\sin }^2}\left( x \right)} }}{3}\]

U holda integral,

\[\int{{\cos \left( x \right)\sqrt {9 + 25{{\sin }^2}\left( x \right)} \,dx}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{\sin \left( x \right)\sqrt {9 + 25{{\sin }^2}\left( x \right)} }}{2} + \frac{9}{{10}}\ln \left| {\frac{{5\sin \left( x \right) + \sqrt {9 + 25{{\sin }^2}\left( x \right)} }}{3}} \right| + c}}\]