Keling, birinchi navbatda ildizni yo'q qilish uchun almashtirishdan foydalanamiz.

\[\sqrt {1 - 7{w^2}} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( \theta \right)} = \sqrt {{{\cos }^2}\left( \theta \right)} = \left| {\cos \left( \theta \right)} \right|\]

Keyinchalik, biz noaniq integralni bajarayotganimiz sababli, biz kosinusni ijobiy deb hisoblaymiz va shuning uchun biz olish uchun mutlaq qiymat satrlarini tashlab qo'yishimiz mumkin,

\[\sqrt {1 - 7{w^2}} = \cos \left( \theta \right)\]

O'zgartirishga tayyorgarlikning yakuniy bosqichi uchun, keling, differentsialni ham hisoblaylik, shuning uchun uni almashtirishda ishlatishni unutmang!

\[dw = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\cos \left( \theta \right)\,d\theta \]

Endi haqiqiy almashtirishni qilaylik.

\[\int{{\sqrt {1 - 7{w^2}} \,dw}} = \int{{\cos \left( \theta \right)\,\left( {\frac{1}{{\sqrt 7 }}\cos \left( \theta \right)} \right)d\theta }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\int{{{{\cos }^2}\left( \theta \right)\,d\theta }}\]

Oldingi bosqichda biz hisoblagan differensialni almashtirishni unutmang. Bu, ehtimol, triglarni almashtirishda eng keng tarqalgan xatodir. Differensialni unutish muammoni sezilarli darajada o'zgartirishi mumkin, ko'pincha integralni baholash juda qiyin bo'ladi.

Endi biz integralni baholashimiz kerak. Mana o'sha ish.

\[\int{{\sqrt {1 - 7{w^2}} \,dw}} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\int{{\frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {2\theta } \right)} \right]\,d\theta }} = \frac{1}{{2\sqrt 7 }}\left[ {\theta + \frac{1}{2}\sin \left( {2\theta } \right)} \right] + c\]

Trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallarni baholash uchun biz tez-tez bajarishimiz kerak bo'lgan integralning barcha "standart" manipulyatsiyalarini unutmang. Agar siz ularni eslamasangiz, oldingi bo'limga qaytib, ularni yaxshi o'rganish uchun ba'zi amaliy muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi.

Har bir trigni almashtirish muammosi trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integralgacha kamayadi va ularning ko'pchiligini baholash uchun integralni biroz manipulyatsiya qilish kerak bo'ladi.

Yakuniy qadam sifatida biz \(w\)-ga qaytishimiz kerak.

Birinchi muddatni olib tashlash uchun (i.e. \(\theta \)) biz har qanday teskari trig funksiyasidan foydalanishimiz mumkin. Eng osoni, ehtimol, asl almashtirishdan foydalanish va teskari sinusni o'z ichiga olgan formulani olishdir, ammo agar xohlasak, oltita trig funksiyasidan har qandayidan foydalanish mumkin. O'zgartirishdan foydalanish bizga beradi,

\[\sin \left( \theta \right) = \sqrt 7 \,w\,\,\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sqrt 7 \,w} \right)\]

\(\sin \left( {2\theta } \right)\)-ni yo'q qilish biroz ko'proq ishlashni talab qiladi. Biz odatdagidek to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalana olmaymiz, chunki bu faqat \(\theta \) argumenti bilan trig funksiyalarini beradi va bizda \(2\theta \) argumenti bor. Biroq, biz \(\theta \) argumentlari bilan funksiyalarni ishga tushirish uchun buni kamaytirish uchun sinus uchun ikki burchakli formuladan foydalanishimiz mumkin. Shunday qilib,

\[\int{{\sqrt {1 - 7{w^2}} \,dw}} = \frac{1}{{2\sqrt 7 }}\left[ {\theta + \sin \left( \theta \right)\cos \left( \theta \right)} \right] + c\]

Endi biz to'g'ri uchburchak ishini bajarishimiz mumkin.

Bizda mavjud almashtirishdan, \[\sin \left( \theta \right) = \frac{{\sqrt 7 w}}{1}\,\,\,\,\,\left( { = \frac{{{\mbox{opp}}}}{{{\mbox{hyp}}}}} \right)\] To'g'ri uchburchakdan biz olamiz, \[\cos \left( \theta \right) = \sqrt {1 - 7{w^2}} \]

U holda integral,

\[\int{{\sqrt {1 - 7{w^2}} \,dw}} = \frac{1}{{2\sqrt 7 }}\left[ {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\sqrt 7 w} \right) + \sqrt 7 \,w\sqrt {1 - 7{w^2}} } \right] + c\]