Asosiy tarkibga o'tish

7.3-bo'lim : Triglarni almashtirish

1. \(\sqrt {4 - 9{z^2}} \) da ildizni yo'q qilish uchun trig almashtirishdan foydalaning.

Yechim

Birinchi qadam almashtirish uchun qaysi trig funktsiyasidan foydalanishni aniqlashdir. Ushbu eslatmani aniqlash uchun (raqamlarga e'tibor bermaslik) ildiz ostidagi miqdor identifikatsiyaga o'xshash ko'rinadi,

\[1 - {\sin ^2}\left( \theta \right) = {\cos ^2}\left( \theta \right)\]

Shunday qilib, sinus, ehtimol, almashtirish uchun ishlatiladigan to'g'ri trig funktsiyasidir. Endi biz ikkita shartdagi raqamlar bilan shug'ullanishimiz kerak.

2-qadam

Trig funktsiyasi bo'yicha koeffitsientni olish uchun biz \(z\) uchun trig funktsiyasini o'rniga qo'yganimizdan va almashtirishning kvadratiga aylanganimizdan so'ng 9 ni 4 ga aylantirishimiz kerakligini unutmang. Shuni inobatga olgan holda, almashtirish bo'lishi kerakdek tuyuladi,

\[z = \frac{2}{3}\sin \left( \theta \right)\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, aslida almashtirishni amalga oshirish va ildizni yo'q qilishdir.

3-qadam
\[\begin{align*}\sqrt {4 - 9{z^2}} & = \sqrt {4 - 9{{\left( {\frac{2}{3}\sin \left( \theta \right)} \right)}^2}} = \sqrt {4 - 9\left( {\frac{4}{9}} \right){{\sin }^2}\left( \theta \right)} \\ & = \sqrt {4 - 4{{\sin }^2}\left( \theta \right)} = 2\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( \theta \right)} \\ & = 2\sqrt {{{\cos }^2}\left( \theta \right)} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{2\left| {\cos \left( \theta \right)} \right|}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz \(\theta \) qiymatlarini bilmaganimiz uchun kosinusning ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlay olmaymiz va shuning uchun bu erda mutlaq qiymat satrlaridan xalos bo'lolmaymiz.