8.2-bo'lim : Er yuzasi
4. \(y = 4 + 3{x^2}\) , \(1 \le x \le 2\) ni \(y\) o'qi atrofida aylantirish orqali olingan ob'ektning sirt maydonini toping.
Yechim
Bu erda birinchi qadam muammoni hal qilish uchun \(ds\) ni tanlashdir. Biz ulardan birini ishlatishimiz mumkin, ammo funktsiya quyidagi uchun sozlangan:
\[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]}^2}} \,dx\]Boshqa \(ds\) dan foydalanish funksiyaga kasr ko‘rsatkichlarini qo‘yadi va \(ds\) va integralni potentsial ravishda chigallashtiradi, shuning uchun biz ushbu \(ds\) bilan yopishib olamiz.
2-qadam
Endi \(ds\) ni o'rnatamiz.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = 6x\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}ds = \sqrt {1 + {{\left[ {6x} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + 36{x^2}} \,dx\]3-qadam
Sirt maydoni uchun integral,
\[SA = \int_{{}}^{{}}{{2\pi x\,ds}} = \int_{1}^{2}{{2\pi x\,\sqrt {1 + 36{x^2}} \,dx}}\]E'tibor bering, biz ushbu muammo uchun \(y\) o'qi bo'yicha funktsiyani aylantirayotganimiz uchun ildiz oldida \(x\) kerak. Shuni ham yodda tutingki, bizning \(ds\) tanlovimiz \(dx\) ni integralga qo'yadi, chunki bizga muammo bayonida berilgan \(x\) integratsiya chegaralari kerak.
4-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Bu Calc I ni tezda almashtirishni talab qiladi. Tasdiqlash uchun integratsiya tafsilotlarining koʻp qismini sizga qoldiramiz, chunki siz shu paytgacha Calc I almashtirishni yaxshi bilishingiz kerak.
\[SA = \int_{1}^{2}{{2\pi x\,\sqrt {1 + 36{x^2}} \,dx}} = \left. {\frac{\pi }{{54}}{{\left( {1 + 36{x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{\pi }{{54}}\left( {{{145}^{\frac{3}{2}}} - {{37}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 88.4864}}\]