8.2-bo'lim : Er yuzasi
3. \(y = {x^3} + 4\) , \(1 \le x \le 5\) ni berilgan o'q atrofida aylantirish natijasida olingan ob'ektning sirt maydoni uchun integralni o'rnating, lekin baholamang. Siz \(ds\)-dan foydalanishingiz mumkin.
- \(x\) o'qi
- \(y\) o'qi
Yechim
Bizga bu yerda \(ds\) dan foydalanishimiz mumkinligi aytiladi va funksiya quyidagi \(ds\) dan foydalanish uchun sozlangan ko‘rinadi.
\[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]}^2}} \,dx\]E'tibor bering, agar xohlasak, boshqa \(ds\) dan foydalanishimiz mumkin. Biroq, bu bizdan \(x\) tenglamasini \(y\) nuqtai nazaridan echishimizni talab qiladi. Bu, o'z navbatida, hosilalarni va demak, integralni potentsial ravishda chalkashtirib yuboradigan kasr ko'rsatkichlarini beradi.
Shuning uchun biz birinchi tanlovimiz \(ds\) bilan boramiz.
2-qadam
Endi bizga funktsiyaning hosilasi kerak bo'ladi.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3{x^2}\]Buni \(ds\) ni tanlashimiz uchun formulaga kiritish,
\[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {3{x^2}} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + 9{x^4}} \,dx\]3-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integralni o'rnatishdir. Shuni ham yodda tutingki, bizda \(ds\) formulasida \(dx\) bor va shuning uchun bizga muammo bayonida berilgan \(x\) integratsiya chegaralari kerakligini bilamiz.
\[SA = \int_{{}}^{{}}{{2\pi y\,ds}} = \int_{1}^{5}{{2\pi y\,\sqrt {1 + 9{x^4}} \,dx}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\int_{1}^{5}{{2\pi \left( {{x^3} + 4} \right)\,\sqrt {1 + 9{x^4}} \,dx}}}}\]Formuladan ehtiyot bo'ling! Esda tutingki, integraldagi o'zgaruvchi har doim aylanish o'qiga qarama-qarshidir. Bu holda biz \(x\) o'qi atrofida aylandik va shuning uchun bizga integralda \(y\) kerak edi.
Nihoyat, \(ds\) bilan biz ushbu qism uchun foydalanishni tanlaymiz, biz yakuniy integralda \(dx\)ga ega bo'ldik va bu integraldagi barcha o'zgaruvchilar \(x\) bo'lishi kerakligini anglatadi. Bu formuladagi \(y\) ni ham \(x\) ga aylantirish kerakligini anglatadi. Yaxshiyamki, buni qilish juda oson, chunki muammo bayonida \(x\) nuqtai nazaridan \(y\) formulasi berilgan.
b \(y\) o'qi
Yechim
Bizga bu yerda \(ds\) dan foydalanishimiz mumkinligi aytiladi va funktsiyani birinchi qismda tanlaganimiz uchun quyidagi \(ds\) dan foydalanish uchun sozlanganga o'xshaydi.
\[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]}^2}} \,dx\]2-qadam
Endi, ushbu muammoning birinchi qismida bo'lgani kabi, bizga funktsiyaning hosilasi va \(ds\) kerak bo'ladi. Malumot uchun yana o'sha ish.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3{x^2}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}ds = \sqrt {1 + {{\left[ {3{x^2}} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + 9{x^4}} \,dx\]3-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integralni o'rnatishdir. Shuni ham yodda tutingki, bizda \(ds\) formulasida \(dx\) mavjud va shuning uchun bizga muammo bayonida berilgan \(x\) integratsiya chegaralari kerakligini bilamiz.
\[SA = \int_{{}}^{{}}{{2\pi x\,ds}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\int_{1}^{5}{{2\pi x\,\sqrt {1 + 9{x^4}} \,dx}}}}\]Formuladan ehtiyot bo'ling! Esda tutingki, integraldagi o'zgaruvchi har doim aylanish o'qiga qarama-qarshidir. Bu holda biz \(y\) o'qi atrofida aylandik va shuning uchun bizga integralda \(x\) kerak edi.
Bu qismda, birinchi qismdan farqli o'laroq, biz ildiz oldidagi \(x\) o'rniga hech qanday almashtirishni amalga oshirmaymiz. Ushbu qism uchun \(ds\) ni tanlaganimiz \(dx\) ni integralga kiritdi va bu bizga \(x\) integrali kerakligini anglatadi. Ildiz oldidagi o'zgaruvchi \(x\) bo'lgani uchun biz o'zgaruvchini almashtirishni talab qilmaymiz.