8.2-bo'lim : Er yuzasi
2. \(y = \sin \left( {2x} \right)\) , \(\displaystyle 0 \le x \le \frac{\pi }{8}\) ni \(x\) o'qi atrofida aylantirish orqali olingan ob'ektning sirt maydoni uchun integralni o'rnating, lekin baholamang,
- \(\displaystyle ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]}^2}} \,dx\)
- \(\displaystyle ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dx}}{{dy}}} \right]}^2}} \,dy\)
Yechim
Bizga birinchi navbatda funktsiyaning hosilasi kerak bo'ladi.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = 2\cos \left( {2x} \right)\]2-qadam
Buni \(ds\) formulasiga ulash, beradi,
\[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + {{\left[ {2\cos \left( {2x} \right)} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + 4{{\cos }^2}\left( {2x} \right)} \,dx\]3-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integralni o'rnatishdir. Shuni ham yodda tutingki, bizda \(ds\) formulasida \(dx\) bor va shuning uchun bizga muammo bayonida berilgan \(x\) integratsiya chegaralari kerakligini bilamiz.
\[SA = \int_{{}}^{{}}{{2\pi y\,ds}} = \int\limits_{0}^{{\frac{\pi }{8}}}{{2\pi y\,\sqrt {1 + 4{{\cos }^2}\left( {2x} \right)} \,dx}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\int\limits_{0}^{{\frac{\pi }{8}}}{{2\pi \sin \left( {2x} \right)\,\sqrt {1 + 4{{\cos }^2}\left( {2x} \right)} \,dx}}}}\]Formuladan ehtiyot bo'ling! Esda tutingki, integraldagi o'zgaruvchi har doim aylanish o'qiga qarama-qarshidir. Bu holda biz \(x\) o'qi atrofida aylandik va shuning uchun bizga integralda \(y\) kerak edi.
E'tibor bering, \(ds\) bilan biz ushbu qism uchun foydalanishimiz kerak edi, biz yakuniy integralda \(dx\)ga egamiz va bu integraldagi barcha o'zgaruvchilar \(x\) bo'lishi kerakligini anglatadi. Bu formuladagi \(y\) ni ham \(x\) ga aylantirish kerakligini anglatadi. Yaxshiyamki, buni qilish juda oson, chunki muammo bayonida \(x\) nuqtai nazaridan \(y\) formulasi berilgan.
Bir tomondan, biz bu erda foydalanishni tanlagan \(ds\) texnik jihatdan ahamiyatsiz ekanligini unutmang. Biroq, haqiqatan ham, bitta \(ds\) bilan ishlash boshqasiga qaraganda osonroq bo'lishi mumkin. Qaysi biri osonroq ekanligini aniqlash tajriba bilan birga keladi va ko'p hollarda ikkalasini ham qaysi biri osonroq ekanligini aniqlashga harakat qiladi.
b \(\displaystyle ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dx}}{{dy}}} \right]}^2}} \,dy\)
Yechim
Bu holda biz birinchi navbatda \(x\) funksiyasini hal qilishimiz kerak, shunda biz \(ds\) da hosilani hisoblashimiz mumkin.
\[y = \sin \left( {2x} \right)\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}\,\,\,x = \frac{1}{2}{\sin ^{ - 1}}\left( y \right)\]Buning hosilasi,
\[\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {1 - {y^2}} }}\]2-qadam
Buni \(ds\) formulasiga ulash, beradi,
\[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dx}}{{dy}}} \right]}^2}} \,dy = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{1}{{2\sqrt {1 - {y^2}} }}} \right]}^2}} \,dy = \sqrt {1 + \frac{1}{{4\left( {1 - {y^2}} \right)}}} \,dy = \sqrt {\frac{{5 - 4{y^2}}}{{4\left( {1 - {y^2}} \right)}}} \,dy\]3-qadam
Keyin, \(ds\)-da \(dy\) borligini unutmang va shuning uchun bizga \(y\) integratsiya chegaralari kerak bo'ladi.
Muammo bayonotida bizga faqat \(x\) chegaralari berilgan. Biroq, biz ularni \(y\) chegaralariga aylantirish uchun muammo bayonotida berilgan funksiyaga ulashimiz mumkin. Shunday qilib,
\[x = 0:y = \sin \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x = \frac{\pi }{8}:y = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]Shunday qilib, mos keladigan \(y\) chegaralari: \(0 \le y \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
4-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integralni o'rnatishdir.
\[SA = \int_{{}}^{{}}{{2\pi yds}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\int_{0}^{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{2\pi y\sqrt {\frac{{5 - 4{y^2}}}{{4 - 4{y^2}}}} \,dy}}}}\]Formuladan ehtiyot bo'ling! Esda tutingki, integraldagi o'zgaruvchi har doim aylanish o'qiga qarama-qarshidir. Bu holda biz \(x\) o'qi atrofida aylandik va shuning uchun bizga integralda \(y\) kerak edi.
Shuni ham yodda tutingki, biz tanlagan \(ds\) texnik jihatdan ahamiyatsiz. Haqiqatan ham, bitta \(ds\) bilan ishlash boshqasiga qaraganda osonroq bo'lishi mumkin, ammo texnik jihatdan ham foydalanish mumkin.