Shu nuqtada, keling, \(x\) va \(y\) limitlari haqida birinchi taxminimizni olamiz. Oldingi muammolarda ta'kidlanganidek, bu erda biz aniqlagan narsa \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta diapazondir. Keyingi bosqichlarda biz bu \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy chegaralar to'plamimi yoki bizda kichikroq diapazonlar mavjudligini aniqlaymiz.

Biz kosinus haqidagi bilimlarimizdan \(x\) va \(y\) limitlarini quyidagicha aniqlashimiz mumkin:

\[\begin{array}{c} - 1 \le \cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) \le 1 & \hspace{1.0in} & - 1 \le \cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) \le 1\\ 3 \le 4 + \cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) \le 5 & \hspace{1.0in} & - \frac{1}{3} \le \frac{1}{3}\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) \le \frac{1}{3}\\ \sqrt 3 \le \sqrt {4 + \cos \left( {\frac{5}{2}t} \right)} \le \sqrt 5 & \hspace{1.0in} & \frac{2}{3} \le 1 + \frac{1}{3}\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) \le \frac{4}{3}\\ \sqrt 3 \le x \le \sqrt 5 & \hspace{1.0in} & \frac{2}{3} \le y \le \frac{4}{3}\end{array}\]

Esda tutingki, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa kosinusdan boshlash va keyin \(x\) va \(y\) uchun tenglamani yaratish, avval trig funktsiyasini har qanday koeffitsientga ko'paytirish va keyin mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan raqamlarni qo'shish/ayirish. Endi bizda \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta limitlar to'plami mavjud.

Endi, bu nuqtada biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, biz bu erda aniqlagan narsamiz \(x\) va \(y\) limitlari uchun mumkin bo'lgan eng katta diapazonlardir. \(x\) va \(y\) chegaralari uchun ushbu tengsizliklar to'plami muammo bayonotida berilgan \(t\) diapazoni uchun parametrik egri chiziq kamida bir marta to'liq kuzatilishini nazarda tutadi. Parametrik egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida to'liq iz qoldirmasligi har doim ham mumkin. Keyingi bosqichda biz parametrik egri chiziq to'liq izni aniqlay oladimi yoki yo'qligini aniqlaymiz va shuning uchun \(x\) va \(y\) dagi haqiqiy chegaralarni aniqlaymiz.

Esda tutingki, biz parametrik egri chiziqni to'liq aniqlash haqida gapiradigan bo'lsak, bu, umuman olganda, biz 1-bosqichda topilgan to'liq kvadrat ildiz grafigi parametrik tenglama orqali aniqlanishini anglatmaydi. Barcha "to'liq kuzatilgan" degani, umuman olganda, parametrik egri chiziqlar to'plami bilan tasvirlangan kvadrat ildiz grafigining qaysi qismi to'liq kuzatilishini anglatadi.

Aslida, bu muammo uchun biz 1-bosqichdagi kvadrat ildiz \(t\) diapazonidan qat'i nazar, zarracha tomonidan to'liq kuzatilmasligini ko'rishimiz mumkin. Zarracha tomonidan kuzatilishi mumkin bo'lgan kvadrat ildiz grafigining mumkin bo'lgan eng katta qismi yuqorida keltirilgan \(x\) va \(y\) diapazonida joylashgan qismdir. Keyingi bosqichda biz kvadrat ildiz grafigining mumkin bo'lgan eng katta qismi aniqlanadimi yoki zarracha uning faqat bir qismini kuzatadimi yoki yo'qligini aniqlaymiz.

Keling, parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini bilib olaylik. Ushbu tahlil uchun eng katta parametrik egri chiziqning tezkor eskizini olish foydali bo'lishi mumkin. Shunday qilib, buning qisqacha eskizi.

Chiziqli chiziq 1-qadamdagi toʻliq kvadrat ildizning grafigi va qatʼiy chiziq biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) diapazoniga kiruvchi qismdir. Bu erda bir chetga surib qoʻyingki, ikkita diapazon qoʻshimcha hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, agar biz grafikni faqat \(x\) diapazoni uchun chizsak, biz avtomatik ravishda \(y\) diapazonini olamiz. Xuddi shunday, agar biz grafikni faqat diapazon uchun chizsak y biz avtomatik ravishda \(x\) diapazonini olamiz. Bu sizning grafikingiz uchun yaxshi tekshiruv. \(x\) va \(y\) diapazonlari har doim mos kelishi kerak!

Davom etishdan oldin, keling, ko'pchiligimiz ko'rishga odatlangan kvadrat ildiz grafiklariga o'xshamasligini ko'rib chiqaylik. Shuni yodda tutingki, biz ishlashga odatlangan kvadrat ildiz funktsiyasi \(y = \sqrt x \) shaklida. Biroq, bu muammo uchun bizning tenglamamiz \(x = \sqrt y \) shaklida. Agar siz bu haqda o'ylayotgan bo'lsangiz, \(x = \sqrt y \) grafigi \(y = {x^2}\) grafigining \(x \ge 0\) ga mos keladigan qismidan boshqa narsa emas (kvadrat ildizlar faqat ijobiy yoki nol qiymatlarni qaytaradi!). Albatta, bu muammoning funktsiyasi \(x = \sqrt y \) emas, balki etarlicha o'xshash, bu erda muhokama qilingan g'oyalar biroz boshqacha funktsiya uchun hali ham amal qiladi.

OK, muammoga qaytaylik.

Bu muammo harakat yo'nalishi bo'yicha oldingi muammoga juda o'xshash bo'ladi. Avval shuni yodda tutingki, agar biz chap tomonning pastki nuqtasidan boshlasak, \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = - 1\) ni talab qilishimiz kerak, chunki bu \(x\) va \(y\) uchun minimal qiymatlarga ega bo'lishning yagona yo'li (bu bizni chap tomonning pastki nuqtasiga qo'yadi)! Hozirda \(t\) ning qaysi qiymatidan foydalanishimiz muhim emas. Eng muhimi shundaki, biz pastki chap tomondamiz.

Agar biz \(t\) ni (bizda mavjud bo'lgan "boshlang'ich" qiymatdan qat'iy nazar) oshirsak, biz bilamizki, kosinus \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = - 1\) dan \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = 1\) qiymatiga yetguncha ortishi kerak bo'ladi. Parametrik tenglamalarni ko'rib chiqsak, bu \(x\) va \(y\) ni o'ng tomondagi yuqori nuqtaga yetguncha oshirishga majbur qilishini ko'rishimiz mumkin.

Endi grafik bu erda to'xtab qolmaydi. Kosinus \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = 1\) qiymatiga yetganda, biz \(t\)ni oshirishni davom ettirish kosinusning kamayishiga olib kelishini bilamiz, u \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = - 1\) qiymatiga etadi. Bu o'z navbatida \(x\) va \(y\) ni yana pastki chap nuqtaga yetguncha kamaytirishga majbur qiladi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz \(t\) ga hech qanday limitlar qo'ymasak, ushbu parametrik egri chiziqdagi zarracha yuqorida chizilgan kvadrat ildiz qismi bo'ylab shunchaki chapga va o'ngga tebranadi. Biroq, bu holda bizda \(t\) diapazoni bor, shuning uchun bu yo'lda zarrachaning harakat ma'lumotlari yo'nalishini to'liq bilish uchun bir iz uchun \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak va biz buni keyingi bosqichda qilamiz. \(t\) diapazonidagi cheklov bilan, zarracha toʻliq iz qoldirmasligi yoki u egri chiziqning bir qismini yoki hammasini orqaga qaytarishi mumkin, shuning uchun biz \(t\) ning toʻliq diapazoni boʻylab zarrachaning harakat yoʻnalishi haqida aniq bir narsa deya olmaymiz, biz bir toʻliq egri chiziq diapazonini aniqlaganimizdan keyingi bosqichga qadar.

Endi biz parametrik egri chiziqning to'liq izi uchun \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak. Ushbu bosqichda parametrik egri chiziqning bitta to'liq izi parametrik egri chiziqning hech qanday qismini qaytarib bo'lmasligini anglatishini yodda tutish muhimdir.

E'tibor bering, bitta to'liq iz biz "boshlang'ich" nuqtaga qaytishimizni anglatmaydi. Oldingi masalada ellips bilan ishlaganimizda, bu bitta iz edi, chunki biz boshlang'ich nuqtaga qaytish uchun ellipsning biron bir qismini takrorlashimiz shart emas edi. Biroq, oldingi bosqichda ko'rganimizdek, bu erda kvadrat ildizimiz uchun boshlang'ich nuqtaga qaytish uchun to'liq egri chiziqni qaytarishimiz kerak.

Shunday qilib, parametrik egri chiziqning bitta to'liq izi biz o'ng oxirgi nuqtadan faqat chap oxirgi nuqtaga yoki aksincha, chap oxirgi nuqtadan o'ng nuqtaga o'tishimizni anglatadi. Qaysi yo'nalishda harakat qilishimiz bu erda muhim emas, shuning uchun bizni chapdan o'ng tomondagi nuqtaga olib boradigan \(t\) diapazonini olaylik.

Chap so'nggi nuqtada bo'lish uchun biz \(\frac{5}{2}t = \ldots , - 3\pi , - \pi ,\pi ,3\pi , \ldots \) bo'lsa paydo bo'ladigan \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = - 1\) ni talab qilishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, sinus va kosinusga ega bo'lgan oldingi muammolardan farqli o'laroq, bu parametrik tenglamalar to'plami faqat kosinusga ega va shuning uchun biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa buni ko'rib chiqishdir. Bundan tashqari, to'g'ri yakuniy nuqtada bo'lish uchun biz \(\frac{5}{2}t = \ldots , - 4\pi , - 2\pi ,0,2\pi ,4\pi , \ldots \) bo'lsa paydo bo'ladigan \(\cos \left( {\frac{5}{2}t} \right) = 1\) ni talab qilishimiz kerak.

Shunday qilib, agar biz chapdan o'ngga o'tmoqchi bo'lsak, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - chap oxirgi nuqtaga mos keladigan \(t\) ro'yxatidan birini tanlash va keyin birinchi navbatda o'ng oxirgi nuqtaga mos keladigan ro'yxatdan keladigan \(t\) ni tanlash va bizda bitta iz uchun \(t\) diapazoni bo'ladi. O'ngdan chapga o'tish uchun biz faqat teskari tomonga boramiz, i.e. o'ng so'nggi nuqtalar ro'yxatidan \(t\) ni tanlang va keyin chap oxirgi nuqta ro'yxatidan birinchi \(t\) ni oling.

Shunday qilib, bu muammo uchun biz chapdan o'ngga o'tishni aytganimizdan so'ng, chap nuqta uchun \(t = \frac{2}{5}\pi \) ga mos keladigan \(\frac{5}{2}t = \pi \) dan foydalanamiz. Bu, o'z navbatida, biz to'g'ri yakuniy nuqta uchun \(t = \frac{4}{5}\pi \) ga mos keladigan \(\frac{5}{2}t = 2\pi \) dan foydalanishimiz kerakligini anglatadi. Bu shuni anglatadiki, bir iz uchun \(t\) diapazoni,

\[\frac{2}{5}\pi \le t \le \frac{4}{5}\pi \]

Bu erda faqat bitta mumkin bo'lgan javob. \(t\) ning “aniq” diapazoni \(\frac{4}{5}\pi - \left( {\frac{2}{5}\pi } \right) = \frac{2}{5}\pi \) \(t\) bo‘lgan, \(t\) diapazonining so‘nggi nuqtalari parametrik egri chiziqning boshlang‘ich/tugash nuqtalariga to‘g‘ri keladigan har qanday diapazoni ishlaydi. Masalan, \(t\) ning quyidagi diapazonlaridan biri ham ishlaydi.

\[ - \frac{2}{5}\pi \le t \le 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le t \le \frac{2}{5}\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{4}{5}\pi \le t \le \frac{6}{5}\pi \]

Har birining harakat yo'nalishi, albatta, \(t\) ning turli diapazonida bo'lishi mumkin. Ba'zilar chapdan o'ngga harakatlanuvchi egri chiziqni, boshqalari esa o'ngdan chapga harakatlanuvchi egri chiziqni kuzatadilar. Chunki muammo biron bir ishlay oladigan yo'nalishni aniqlamagan.

Shuni ham yodda tutingki, \(\frac{2}{5}\pi \le t \le \frac{4}{5}\pi \) diapazoni muammoda ko'rsatilgan \(t\) diapazoniga to'liq tushadi va shuning uchun biz zarracha \(t\) diapazoni bo'ylab egri chiziqni bir necha marta kuzatishini bilamiz. Uning egri chiziq bo'ylab necha marta o'tishini aniqlash keyingi bosqichda aniqlanadi.

Endi bizda parametrik egri chiziqning to'liq izi uchun \(t\) diapazoni mavjud bo'lsa, biz zarracha izlari sonini aniqlashimiz mumkin.

Bu haqiqatan ham oson qadam. Biz zarracha sayohat qilgan umumiy vaqtni bilamiz va bir iz uchun qancha vaqt ketishini bilamiz. Shuning uchun,

\[{\mbox{Number Traces = }}\frac{{{\mbox{Total Time Traveled}}}}{{{\mbox{Time for One Trace}}}} = \frac{{2\pi - \left( { - 48\pi } \right)}}{{\frac{4}{5}\pi - \left( {\frac{2}{5}\pi } \right)}} = \frac{{50\pi }}{{\frac{2}{5}\pi }} = 125{\mbox{ traces}}\]

Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.

Ushbu eskiz uchun biz egri chiziqning har ikki yo'nalishi bo'yicha o'q boshlarini qo'yish orqali harakat yo'nalishini ko'rsatdik. Biz, shuningdek, zarrachaning egri chiziqdan chiqib ketayotganda qayerda ekanligini va oxirgi nuqtalar koordinatalarini ko'rsatish uchun bir nechta nuqtalar uchun \(t\) to'plamini qo'shdik, chunki ular "chiroyli" nuqtalar emas. Kesilgan chiziq bizning parametrik egri chiziq ildizimizning faqat bir qismi ekanligini ko'rsatish uchun 1-qadamdagi kvadrat ildizning davomidir.

Bu yerda, shuningdek, muammo so'ragan qolgan barcha ma'lumotlarga rasmiy javoblar.

\[\begin{array}{lcc}{\mbox{Range of }}x{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & \sqrt 3 \le x \le \sqrt 5 \\ {\mbox{Range of }}y{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & \frac{2}{3} \le y \le \frac{4}{3}\\ {\mbox{Range of }}t{\mbox{ for one trace : }} & \hspace{0.1in} & \frac{2}{5}\pi \le t \le \frac{4}{5}\pi \\ {\mbox{Total number of traces : }} & \hspace{0.1in} & 125\end{array}\]