9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
8. Zarrachaning yo'li quyidagi parametrik tenglamalar to'plami bilan berilgan. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlab bering. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlash uchun siz quyidagi ma'lumotlarni taqdim etishingiz kerak bo'ladi.
- Parametrni yo'q qilish orqali olingan tenglamaga asoslangan parametrik egri chiziqning (harakat yo'nalishini o'z ichiga olgan holda) eskizi.
- \(x\) va \(y\) limitlari.
- Parametrik egri chiziqning bir izi uchun \(t\) diapazoni.
- Agar masalada \(t\) ning umumiy diapazoni berilgan bo‘lsa, zarracha yaratadigan egri chiziq izlari soni.
Yechim
Ushbu muammoga to'liq javob berish uchun biz juda ko'p ma'lumotlarni topishimiz kerak. Biroq, ko'pchilik uchun biz ushbu bo'limdagi dastlabki bir nechta muammolar uchun ishlatgan qadamlarning bir xil asosiy tartibiga amal qilishimiz mumkin. Biroq, biz yo'lda biroz qo'shimcha ish qilishimiz kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, bu yerdagi ishlarning aksariyati biz ushbu bo'limning 4-6-masalalarida bajargan ishimizga o'xshash bo'lganligi sababli, biz bu erda qilayotgan ishlarning ko'piga unchalik ko'p izoh bermaymiz. Shunday qilib, agar sizga ba'zi ishlar uchun tushuntirish kerak bo'lsa, bu muammolarga qaytib, tegishli qadamlarni tekshirishingiz kerak.
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun biz taniqli trig identifikatoridan foydalanamiz,
\[{\cos ^2}\left( \theta \right) + {\sin ^2}\left( \theta \right) = 1\]Sinus va kosinus uchun har bir parametrik tenglamani quyidagicha yechishimiz mumkin:
\[\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = \frac{x}{4}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\cos ^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) = \frac{{y - 1}}{{ - 2}}\]Bularni trig identifikatoriga ulash,
\[\frac{{y - 1}}{{ - 2}} + {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} = 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = \frac{{{x^2}}}{8} - 1\]Shuning uchun, bir oz algebraik manipulyatsiya bilan biz parametrik egri yuqoridagi parabolalarning bir qismi yoki barchasi bo'lishini ko'ramiz. E'tibor bering, sinuslar va kosinuslarni o'z ichiga olgan ko'plab parametrik tenglamalar ellipsning bir qismi yoki barchasi bo'lsa-da, ularning barchasi bu muammo ko'rsatganidek bo'lmaydi. Sinuslar/kosinuslarni ko'rganingizda ellipslarga shunchalik yopishib qolmangki, siz har doim egri chiziq ellips bo'ladi deb o'ylaysiz.
2-qadam
Shu nuqtada, keling, \(x\) va \(y\) limitlari haqida birinchi taxminimizni olamiz. Oldingi muammolarda ta'kidlanganidek, biz bu erda aniqlagan narsa \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta diapazondir. Keyingi bosqichlarda biz bu \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy chegaralar to'plamimi yoki bizda kichikroq diapazonlar mavjudligini aniqlaymiz.
Biz sinus va kosinus haqidagi bilimlarimizdan \(x\) va \(y\) dagi chegaralarni quyidagicha aniqlashimiz mumkin:
\[\begin{array}{ccc} - 1 \le \sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) \le 1 & \hspace{1.0in} & - 1 \le \cos \left( {\frac{1}{4}t} \right) \le 1\\ - 4 \le 4\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) \le 4 & \hspace{1.0in} & 0 \le {\cos ^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) \le 1\\ - 4 \le x \le 4 & \hspace{1.0in} & 0 \ge - 2{\cos ^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) \ge - 2\\ & \hspace{1.0in} & 1 \ge 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) \ge - 1\\ & \hspace{1.0in} & - 1 \le y \le 1\end{array}\]Esda tutingki, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa tegishli trig funktsiyasidan boshlash va keyin \(x\) va \(y\) uchun tenglamani yaratish, agar mavjud bo'lsa, trig funktsiyasini istalgan koeffitsientga ko'paytirish va keyin mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan raqamlarni qo'shish/ayirish. Endi bizda \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta limitlar to'plami mavjud.
Endi, bu nuqtada biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, biz bu erda aniqlagan narsalar \(x\) va \(y\) limitlari uchun mumkin bo'lgan eng katta diapazonlardir. \(x\) va \(y\) chegaralari uchun ushbu tengsizliklar to'plami muammo bayonotida berilgan \(t\) diapazoni uchun parametrik egri chiziq hech bo'lmaganda bir marta to'liq kuzatilishini nazarda tutadi. Parametrik egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida to'liq iz qoldirmasligi har doim ham mumkin. Keyingi bosqichda biz parametrik egri chiziq to'liq izni aniqlaydimi va shuning uchun \(x\) va \(y\) dagi haqiqiy chegaralarni aniqlaymiz.
Esda tutingki, biz parametrik egri chiziqni to'liq aniqlash haqida gapirganda, bu, umuman olganda, biz 1-bosqichda topilgan to'liq parabola parametrik tenglama orqali aniqlanishini anglatmaydi. Barcha "to'liq kuzatilgan" degani, umuman olganda, parametrik egri chiziqlar to'plami tomonidan tasvirlangan parabolaning qaysi qismi to'liq kuzatilishini anglatadi.
Aslida, bu muammo uchun biz 1-bosqichdagi parabola \(t\) diapazonidan qat'i nazar, zarracha tomonidan to'liq kuzatilmasligini ko'rishimiz mumkin. Zarracha tomonidan kuzatilishi mumkin bo'lgan parabolaning eng katta qismi yuqorida keltirilgan \(x\) va \(y\) diapazonida joylashgan qismidir. Keyingi bosqichda biz parabolaning mumkin bo'lgan eng katta qismi aniqlanadimi yoki zarracha uning faqat bir qismini kuzatadimi yoki yo'qligini aniqlaymiz.
3-qadam
Keling, parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini bilib olaylik. Ushbu tahlil uchun eng katta parametrik egri chiziqning tezkor eskizini olish foydali bo'lishi mumkin. Shunday qilib, buning qisqacha eskizi.
Kesikli chiziq 1-qadamdagi toʻliq parabolaning grafigi va qatʼiy chiziq biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) diapazoniga kiruvchi qismdir. Bu yerda bir chetga surib qoʻyingki, ikkita diapazon qoʻshimcha hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, agar biz grafikni faqat \(x\) diapazoni uchun chizsak, biz avtomatik ravishda \(y\) diapazonini olamiz. Xuddi shunday, agar biz grafikni faqat diapazon uchun chizsak y biz \(x\) uchun diapazonni avtomatik ravishda olamiz. Bu sizning grafikingiz uchun yaxshi tekshiruv. \(x\) va \(y\) diapazonlari har doim mos kelishi kerak!
Parametrik egri chizig'imiz ellips bo'lganida (masalan, oldingi muammo), biz egri chiziqdagi tahlilni qaysi nuqtadan boshlaganimizdan qat'iy nazar, oxir-oqibat ellips atrofidan chiqib, o'zining biron bir qismiga qaytmasdan, boshlang'ich nuqtaga qaytadi. Ellips muammosi bilan duch kelgan asosiy muammo shundaki, biz buni amalga oshirish uchun ellips atrofida soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat miliga teskari harakatda aylanishimiz mumkin edi va biz qaysi yo'nalishda ketayotganimizni aniqlash uchun \(x\) va \(y\) parametrik tenglamalarining xatti-harakatlarini sinchkovlik bilan tahlil qilish kerak edi.
Parabola bilan bizning parametrik egri chizig'imiz uchun narsalar juda boshqacha ishlaydi. Aytaylik, biz to‘g‘ri yakuniy nuqtadan “boshladik” (bu men o‘ng qo‘l ekanligim uchun boshqa sababsiz tasodifiy tanlangan, shuning uchun bu nuqtada hech qanday maxsus narsa yo‘q deb o‘ylamang!) va bu nuqtaga erishish uchun qaysi \(t\) dan foydalanishimiz muhim emas.
Shu nuqtada biz \(x = 4\) da ekanligimizni bilamiz va \(x\) bu qiymatga ega bo'lishi uchun bizda \(\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = 1\) ham bo'lishi kerak. Endi, biz \(t\) ni shu nuqtadan oshirganimizda (yana \(t\) qiymati qanday bo'lishi muhim emas), sinus uchun yagona variant - u \(\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = - 1\) qiymatiga ega bo'lmaguncha kamayishi. Bu, o'z navbatida, agar biz o'ng nuqtadan boshlasak, chapga boradigan egri chiziq bo'ylab davom etishdan boshqa ilojimiz yo'qligini anglatadi.
Biroq, biz faqat chap oxirgi nuqtaga etib bormaymiz va keyin to'xtab qolamiz! \(\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = - 1\) da bo‘lganimizdan so‘ng, agar \(t\) ni yanada oshirsak, biz bilamizki, sinus ham \(\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = 1\) qiymatiga ega bo‘lmaguncha ortadi va shuning uchun biz o‘ng nuqtaga qaytgunimizcha egri chiziq bo‘ylab o‘ngga qaytishimiz kerak.
Biroq, ellipsdan farqli o'laroq, bu sodir bo'lishining yagona yo'li zarrachaning o'ng tomonga harakatlanayotgan parabola bo'ylab orqaga qaytishidir. Esda tutingki, zarracha o'ngga yoki chapga siljiydi, u biz 1-bosqichda topilgan parabolaning bir qismini kuzatishi kerak! Parabola grafigi bo'yicha parametrik tenglamalar to'plami tomonidan berilgan yo'l bo'ylab harakatlanadigan har qanday zarracha parabola grafigiga amal qilishi va uni hech qachon tark etmasligi kerak.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz \(t\) ga hech qanday limitlar qo'ymasak, ushbu parametrik egri chiziqdagi zarracha yuqorida chizilgan parabolaning qismi bo'ylab shunchaki chapga va o'ngga tebranadi. Biroq, bu holda bizda \(t\) diapazoni bor, shuning uchun bu yo'lda zarrachaning harakat ma'lumotlari yo'nalishini to'liq bilish uchun bir iz uchun \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak va biz buni keyingi bosqichda qilamiz. \(t\) diapazonidagi cheklov bilan, zarracha to‘liq iz qoldirmasligi yoki egri chiziqning bir qismini yoki hammasini orqaga qaytarishi mumkin, shuning uchun biz \(t\) ning to‘liq diapazoni bo‘ylab zarrachaning harakat yo‘nalishi haqida aniq bir narsa ayta olmaymiz, biz bir to‘liq egri chiziq uchun MATHBLOCK64 diapazonini aniqlaganimizdan keyingi bosqichga qadar.
Keyingi bosqichga o'tishdan oldin biz hal qilishimiz kerak bo'lgan tezkor mavzu bor. Biz ushbu tahlilni amalga oshirish uchun faqat \(x\) tenglamasidan foydalanganmiz va tahlilning hech bir joyida \(y\) tenglamasiga hech qachon murojaat qilmaganmiz. Qaysi birini ishlatishimiz muhim emas, chunki ikkalasi ham bir xil ma'lumot beradi.
4-qadam
Endi biz parametrik egri chiziqning to'liq izi uchun \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak. Ushbu bosqichda parametrik egri chiziqning bitta to'liq izi parametrik egri chiziqning hech qanday qismini qaytarib bo'lmasligini anglatishini yodda tutish muhimdir.
E'tibor bering, bitta to'liq iz biz "boshlang'ich" nuqtaga qaytishimizni anglatmaydi. Oldingi masalada ellipsni ko'rib chiqqanimizda, bu bitta iz edi, chunki biz boshlang'ich nuqtaga qaytish uchun ellipsning biron bir qismini orqaga qaytarishimiz shart emas edi. Biroq, oldingi bosqichda ko'rganimizdek, bu erda bizning parabola uchun biz boshlang'ich nuqtaga qaytish uchun to'liq egri chiziqni qaytarishimiz kerak.
Shunday qilib, parametrik egri chiziqning bitta to'liq izi biz o'ng oxirgi nuqtadan faqat chap oxirgi nuqtaga yoki aksincha, chap oxirgi nuqtadan o'ng nuqtaga o'tishimizni anglatadi. Bu erda biz qaysi yo'nalishda harakat qilishimiz muhim emas, keling, bizni chapdan o'ng nuqtaga olib boradigan \(t\) diapazonini olaylik.
Oldingi barcha masalalarda biz \(t = 0\) dan "boshlang'ich" nuqta sifatida foydalanganmiz, ammo bu muammo uchun ishlamaydi, chunki u aslida parabolaning tepasiga to'g'ri keladi. Biz chap so'nggi nuqtadan boshlamoqchimiz, shuning uchun bu jarayonning birinchi qismi bizni chap oxirgi nuqtaga qo'yadigan \(t\) ni aniqlaydi.
\(\left( { - 4,1} \right)\) chap tomonida bo'lish uchun biz \(\frac{1}{4}t = \ldots , - \frac{{5\pi }}{2}, - \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{7\pi }}{2}, \ldots \) bo'lsa sodir bo'ladigan \(\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = - 1\) ni talab qilishimiz kerak. Bundan tashqari, biz \(\frac{1}{4}t = \ldots , - \frac{{3\pi }}{2}, - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}, \ldots \) bo'lsa paydo bo'ladigan \(\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right) = 0\) ni talab qilishimiz kerak. Bu erda ikkala ro'yxatda ham ko'plab raqamlar bo'ladi, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bittasini tanlash va davom ettirishdir. Bu erda sanab o'tgan raqamlardan biz \(\frac{1}{4}t = - \frac{\pi }{2}\) yoki \(\frac{1}{4}t = \frac{{3\pi }}{2}\) dan foydalanishimiz mumkin. Biz \(\frac{1}{4}t = - \frac{\pi }{2}\) dan foydalanamiz, i.e. qachon \(t = - 2\pi \) , chunki u ikkala ro'yxatda ham birinchi bo'lib uchraydi. Shuning uchun, biz \(t = - 2\pi \) qachon chap oxirgi nuqtada bo'lamiz.
Endi \(\left( {4,1} \right)\) to'g'ri yakuniy nuqtaga o'tamiz. Bir iz uchun \(t\) diapazonini olish uchun bu bizga \(t > - 2\pi \) bilan keyingi \(t\) kerak bo'ladi (bu \(\frac{1}{4}t > - \frac{\pi }{2}\) ga mos keladi). Buning uchun biz \(\frac{1}{4}t = \ldots , - \frac{{3\pi }}{2},\frac{\pi }{2},\frac{{5\pi }}{2},\frac{{9\pi }}{2}, \ldots \) bo'lsa paydo bo'ladigan \(\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right) = 1\)ni va \(\frac{1}{4}t = \ldots , - \frac{{3\pi }}{2}, - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}, \ldots \) bo'lsa paydo bo'ladigan \(\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right) = 0\)ni talab qilishimiz kerak. .
\(\frac{1}{4}t > - \frac{\pi }{2}\) bilan ushbu ikkala ro'yxatdagi birinchi \(t\) keyin \(\frac{1}{4}t = \frac{\pi }{2}\), i.e. qachon \(t = 2\pi \). Shunday qilib, bizni to'g'ri yakuniy nuqtaga qo'yadigan \(t = - 2\pi \) dan keyingi birinchi \(t = 2\pi \) - \(t = 2\pi \). Bu shuni anglatadiki, parametrik egri chiziqning bir to'liq izi uchun \(t\) diapazoni shunday bo'ladi:
\[ - 2\pi \le t \le 2\pi \]E'tibor bering, bu faqat bitta mumkin bo'lgan javob. \(t\) ning “aniq” diapazoniga ega \(2\pi - \left( { - 2\pi } \right) = 4\pi \) \(t\) diapazoni, \(t\) diapazonining so‘nggi nuqtalari parametrik egri chiziqning boshlang‘ich/tugash nuqtalariga to‘g‘ri keladigan har qanday diapazoni ishlaydi. Masalan, \(t\) ning quyidagi diapazonlaridan biri ham ishlaydi.
\[ - 6\pi \le t \le - 2\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}2\pi \le t \le 6\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}6\pi \le t \le 10\pi \]Har birining harakat yo'nalishi, albatta, \(t\) ning turli diapazonida bo'lishi mumkin. Ba'zilar chapdan o'ngga harakatlanuvchi egri chiziqni, boshqalari esa o'ngdan chapga harakatlanuvchi egri chiziqni kuzatadilar. Chunki muammo biron bir ishlay oladigan yo'nalishni aniqlamagan.
Shuni ham yodda tutingki, \( - 2\pi \le t \le 2\pi \) diapazoni muammoda ko'rsatilgan \(t\) diapazoniga to'liq tushadi va shuning uchun biz zarracha \(t\) diapazonining to'liq diapazonida egri chiziqni bir necha marta kuzatishini bilamiz. Uning egri chiziq bo'ylab necha marta o'tishini aniqlash keyingi bosqichda aniqlanadi.
5-qadam
Endi bizda parametrik egri chiziqning to'liq izi uchun \(t\) diapazoni mavjud bo'lsa, biz zarracha izlari sonini aniqlashimiz mumkin.
Bu haqiqatan ham oson qadam. Biz zarracha sayohat qilgan umumiy vaqtni bilamiz va bir iz uchun qancha vaqt ketishini bilamiz. Shuning uchun,
\[{\mbox{Number Traces = }}\frac{{{\mbox{Total Time Traveled}}}}{{{\mbox{Time for One Trace}}}} = \frac{{34\pi - \left( { - 52\pi } \right)}}{{2\pi - \left( { - 2\pi } \right)}} = \frac{{86\pi }}{{4\pi }} = \frac{{43}}{2} = 21.5{\mbox{ traces}}\]6-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz egri chiziqning har ikki yo'nalishi bo'yicha o'q boshlarini qo'yish orqali harakat yo'nalishini ko'rsatdik. Egri chiziqdan chiqib ketayotganda zarracha qayerda ekanligini ko'rsatish uchun biz bir nechta nuqtalar uchun \(t\) to'plamini ham qo'shdik. Chiziqli chiziq parabolaning 1-bosqichdagi davomi bo'lib, bizning parametrik egri chizig'imiz parabolaning faqat bir qismi ekanligini ko'rsatadi.
Bu yerda, shuningdek, muammo so'ragan qolgan barcha ma'lumotlarga rasmiy javoblar.
\[\begin{array}{lcc} {\mbox{Range of }}x{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & - 4 \le x \le 4\\ {\mbox{Range of }}y{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & - 1 \le y \le 1\\ {\mbox{Range of }}t{\mbox{ for one trace : }} &\hspace{0.1in} & - 2\pi \le t \le 2\pi \\ {\mbox{Total number of traces : }} & \hspace{0.1in} & 21.5\end{array}\]