9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
7. Zarrachaning yo'li quyidagi parametrik tenglamalar to'plami bilan berilgan. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlab bering. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlash uchun siz quyidagi ma'lumotlarni taqdim etishingiz kerak bo'ladi.
- Parametrni yo'q qilish orqali olingan tenglamaga asoslangan parametrik egri chiziqning (harakat yo'nalishini o'z ichiga olgan holda) eskizi.
- \(x\) va \(y\) limitlari.
- Parametrik egri chiziqning bir izi uchun \(t\) diapazoni.
- Agar masalada \(t\) ning umumiy diapazoni berilgan bo‘lsa, zarracha yaratadigan egri chiziq izlari soni.
Yechim
Ushbu muammoga to'liq javob berish uchun biz juda ko'p ma'lumotlarni topishimiz kerak. Biroq, ko'pchilik uchun biz ushbu bo'limdagi dastlabki bir nechta muammolar uchun ishlatgan qadamlarning bir xil asosiy tartibiga amal qilishimiz mumkin. Biroq, biz yo'lda biroz qo'shimcha ish qilishimiz kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, bu yerdagi ishlarning aksariyati biz ushbu bo'limning 4-6-masalalarida bajargan ishimizga o'xshash bo'lganligi sababli, biz bu erda qilayotgan ishlarning ko'piga unchalik ko'p izoh bermaymiz. Shunday qilib, agar sizga ba'zi ishlar uchun tushuntirish kerak bo'lsa, bu muammolarga qaytib, tegishli qadamlarni tekshirishingiz kerak.
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun biz taniqli trig identifikatoridan foydalanamiz,
\[{\cos ^2}\left( \theta \right) + {\sin ^2}\left( \theta \right) = 1\]Sinus va kosinus uchun har bir parametrik tenglamani quyidagicha yechishimiz mumkin:
\[\cos \left( {3t} \right) = \frac{{x - 3}}{{ - 2}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\sin \left( {3t} \right) = \frac{{y - 1}}{4}\]Bularni trig identifikatoriga ulash,
\[{\left( {\frac{{x - 3}}{{ - 2}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y - 1}}{4}} \right)^2} = 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{16}} = 1\]Shuning uchun parametrik egri chiziq bu ellipsning grafigining bir qismi yoki barchasi bo'ladi.
2-qadam
Shu nuqtada, keling, \(x\) va \(y\) limitlari haqida birinchi taxminimizni olamiz. Oldingi muammolarda ta'kidlanganidek, biz bu erda aniqlagan narsa \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta diapazondir. Keyingi bosqichlarda biz bu \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy chegaralar to'plamimi yoki bizda kichikroq diapazonlar mavjudligini aniqlaymiz.
Biz sinus va kosinus haqidagi bilimlarimizdan \(x\) va \(y\) dagi chegaralarni quyidagicha aniqlashimiz mumkin:
\[\begin{array}{c} - 1 \le \cos \left( {3t} \right) \le 1 & \hspace{1.0in} & - 1 \le \sin \left( {3t} \right) \le 1\\ 2 \ge - 2\cos \left( {3t} \right) \ge - 2& \hspace{1.0in} & - 4 \le 4\sin \left( {3t} \right) \le 4\\ 5 \ge 3 - 2\cos \left( {3t} \right) \ge 1 & \hspace{1.0in} & - 3 \le 1 + 4\sin \left( {3t} \right) \le 5\\ 1 \le x \le 5 & \hspace{1.0in} & - 3 \le y \le 5\end{array}\]Esda tutingki, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa tegishli trig funktsiyasidan boshlash va keyin \(x\) va \(y\) uchun tenglamani yaratish, agar mavjud bo'lsa, trig funktsiyasini istalgan koeffitsientga ko'paytirish va keyin mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan raqamlarni qo'shish/ayirish. Endi bizda \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta limitlar to'plami mavjud.
Bu muammoda parametrik egri chiziqning qancha qismini chizishni cheklashi mumkin bo'lgan \(t\) diapazoni yo'q. Bu parametrik egri chiziq to'liq kuzatilishini anglatadi.
Esda tutingki, biz parametrik egri chiziqni to'liq aniqlash haqida gapiradigan bo'lsak, bu, umuman olganda, biz 1-bosqichda topilgan to'liq ellips parametrik tenglama orqali aniqlanishini anglatmaydi. Barcha "to'liq kuzatilgan" degani, umuman olganda, parametrik egri chiziqlar to'plamida tasvirlangan ellipsning qaysi qismi to'liq kuzatilishini anglatadi.
Shu bilan birga, ushbu muammo uchun biz yuqorida topilgan \(x\) va \(y\) diapazonlari 1-bosqichda topilgan ellips tenglamasidan olingan \(x\) va \(y\) uchun maksimal diapazonlarga ham to‘g‘ri kelishini ham ta’kidlaymiz. \(x\) va \(y\).
3-qadam
Keling, parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini bilib olaylik.
Keling, \(t = 0\) dan ushbu tahlil uchun "boshlang'ich" nuqta sifatida foydalanamiz. \(t = 0\) da biz \(\left( {1,1} \right)\) nuqtasidamiz. Agar biz \(t\) ni oshirsak, \(\left( {3,5} \right)\) nuqtasiga yetgunimizcha \(x\) ham, \(y\) ham ortishi kerakligini ko‘ramiz. Bu nuqtadan \(t\) ni yanada oshirish \(x\) ni o'sishda davom etishga majbur qiladi, ammo \(y\) endi biz \(\left( {5,1} \right)\) nuqtasiga yetguncha pasayishni boshlaydi. Keyinchalik, biz \(t\) ni yana oshirganimizda \(x\) ham, \(y\) ham \(\left( {3, - 3} \right)\) nuqtasiga yetguncha kamayadi. Nihoyat, \(t\) ni yanada oshiramiz, biz \(x\)ni pasayishni davom ettiramiz, \(y\) esa biz tahlilni “boshlagan” nuqtamiz — \(\left( {1,1} \right)\) ga qaytgunimizcha oshib keta boshlaydi.
Biz bunga ko'p tushuntirish bermadik, lekin parametrik tenglamalar va \(t\) ni oshirganingizda sinus/kosinus qanday harakat qilishini o'ylab ko'rsangiz, nima sodir bo'layotganini ko'rishingiz mumkin. \(x\) tenglamasida kosinus koeffitsienti manfiy ekanligini ko'ramiz, shuning uchun kosinus ko'paysa, \(x\)K kamayishi kerak. \(y\) tenglamasi sinus koeffitsienti musbat va shuning uchun ham \(y\), ham sinus bir vaqtning o'zida ortadi yoki kamayadi.
Yaxshi, yuqoridagi barcha tahlillarda biz soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, sinus va kosinusning tebranish xususiyati tufayli "boshlang'ich" nuqtaga qaytganimizdan so'ng, xatti-harakatlar takrorlanadi. Bu, o'z navbatida, biz "boshlang'ich" nuqtaga qaytganimizdan so'ng, parametrik egri chiziqni soat yo'nalishi bo'yicha kuzatishni davom ettiramiz.
4-qadam
Oxirgi bosqichdagi tahlildan biz bu erda mavjud bo'lmagan parametrik egri chiziqni cheklaydigan \(t\) diapazonisiz parametrik egri chiziq 1-bosqichda topilgan ellipsni to'liq kuzatib borishini ko'rdik.
Shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan navbatdagi narsa parametrik egri chiziqning bir izini bajarish uchun zarur bo'lgan \(t\) diapazonini aniqlashdir. E'tibor bering, parametrik egri chiziqning bitta izi parametrik egri chiziqning hech bir qismi hech qachon qaytarilmaydi. Bu muammo uchun biz ellipsni bir marta aniqlaymiz.
Shunday qilib, oxirgi bosqichda bo'lgani kabi, \(t = 0\) ga mos keladigan \(\left( {1,1} \right)\) nuqtasidan "boshlaymiz". Shunday qilib, keyingi savol - \(t > 0\) ning qaysi qiymatiga biz yana bu nuqtaga erishamiz.
\(\left( {1,1} \right)\) nuqtasida bo'lish uchun biz \(\cos \left( {3t} \right) = 1\) va \(\sin \left( {3t} \right) = 0\) ni talab qilishimiz kerak. Shunday qilib, \(t > 0\) uchun biz \(3t = 2\pi ,4\pi ,6\pi , \ldots \) bo'lsa, \(\cos \left( {3t} \right) = 1\) va \(3t = \pi ,2\pi ,3\pi , \ldots \) bo'lsa, \(\sin \left( {3t} \right) = 0\) bo'lishini bilamiz.
Ushbu ikkala ro'yxatdagi \(t\) ning birinchi qiymati \(3t = 2\pi \). Shunday qilib, biz "boshlang'ich" nuqtaga qaytamiz,
\[3t = 2\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}t = \frac{{2\pi }}{3}\]Shunday qilib, diapazonda bitta iz tugaydi,
\[0 \le t \le \frac{{2\pi }}{3}\]E'tibor bering, bu faqat bitta mumkin bo'lgan javob. \(t\) ning “aniq” diapazoni \(\frac{{2\pi }}{3}\) \(t\) ning har qanday diapazoni, \(t\) diapazonining so‘nggi nuqtalari parametrik tenglamaning boshlanish/tugash nuqtalariga to‘g‘ri keladi. Masalan, \(t\) ning quyidagi diapazonlaridan biri ham ishlaydi.
\[ - \frac{{2\pi }}{3} \le t \le 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{2\pi }}{3} \le t \le \frac{{4\pi }}{3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - \frac{\pi }{3} \le t \le \frac{\pi }{3}\]Albatta, bitta iz uchun \(t\) ning boshqa ko'plab mumkin bo'lgan diapazonlari mavjud. E'tibor bering, yuqoridagi so'nggi misolda ko'rsatilgandek, to'liq ellips aniqlanganligi sababli, har bir diapazon bir joyda boshlanishi/tugashi shart emas. Biz dastlab yetib kelgan diapazon va birinchi ikkita diapazon \(\left( {1,1} \right)\) da boshlanadi/tugaydi, yuqoridagi uchinchi diapazon esa \(\left( {5,1} \right)\) da boshlanadi/tugaydi.
5-qadam
Endi bizda parametrik egri chiziqning to'liq izi uchun \(t\) diapazoni mavjud bo'lsa, biz zarracha izlari sonini aniqlashimiz mumkin. Biroq, bizga \(t\)-ning umumiy assortimenti berilmaganligi sababli, biz bu muammoni hal qila olmaymiz.
6-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz zarrachaning egri chiziqdan chiqib ketish paytida qayerda ekanligini ko'rsatish uchun \(t\) to'plamini kiritdik. Ba'zi amaliyotlar uchun siz 4-bosqichdagi tahlilga amal qilib, grafikdagi qolgan uchta nuqta uchun \(t\) qiymatlarini tekshirishingiz mumkin. Albatta, tekshirish uchun ularni ulash osonroq bo'lardi, ammo 4-bosqich tahlili amaliyoti siz uchun foydali bo'lishi mumkin.
Bu yerda, shuningdek, muammo so'ragan qolgan barcha ma'lumotlarga rasmiy javoblar.
\[\begin{array}{lcc} {\mbox{Range of }}x{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & 1 \le x \le 5\\ {\mbox{Range of }}y{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & - 3 \le y \le 5\\ {\mbox{Range of }}t{\mbox{ for one trace : }} & \hspace{0.1in} & 0 \le t \le \frac{{2\pi }}{3}\\ {\mbox{Total number of traces : }} & \hspace{0.1in} & {\mbox{n/a}}\end{array}\]