9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
5. Quyidagi parametrik tenglamalar to‘plami uchun parametrni olib tashlang, parametrik egri chiziqning grafigini chizing va \(x\) va \(y\) da mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan chegaralarni keltiring.
\[x = 3\sin \left( {2t} \right)\hspace{0.5in}y = - 4\cos \left( {2t} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,0 \le t \le 2\pi \]Yechim
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun biz taniqli trig identifikatoridan foydalanamiz,
\[{\cos ^2}\left( \theta \right) + {\sin ^2}\left( \theta \right) = 1\]Sinus va kosinus uchun har bir parametrik tenglamani quyidagicha yechishimiz mumkin:
\[\sin \left( {2t} \right) = \frac{x}{3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\cos \left( {2t} \right) = - \frac{y}{4}\]Ularni trig identifikatoriga ulash (esda tutingki, identifikatsiya ikkala trig funktsiyasining argumenti bir xil bo'lsa, 2\(t\) bir xil bo'ladi),
\[{\left( { - \frac{y}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]Shuning uchun parametrik egri chiziq yuqoridagi ellipsning bir qismi yoki barchasi bo'ladi.
Parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlashda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Olingan tenglamaning faqat \(x\) va \(y\) grafigi parametrik egri chiziqning grafigi bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Ko'pincha, har doim bo'lmasa ham, parametrik egri chiziq faqat \(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan tenglamadan egri chiziqning faqat bir qismi bo'ladi. Yana bir ro'y berishi mumkin bo'lgan vaziyat shundan iboratki, parametrik egri chiziq faqat \(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan tenglamadagi egri chiziqning bir qismini yoki barchasini bir necha marta qaytaradi.
Ushbu kuzatuv ushbu muammo uchun ayniqsa muhimdir. Keyingi bir necha qadamlar ellipsning qancha qismi borligini va u ellipsni yoki ellipsning bir qismini bir necha marta orqaga qaytarishini aniqlashga yordam beradi.
Muammoning qolgan qismini davom ettirishdan oldin, qadamlarni bajarish uchun aniq tartib yo'qligini ta'kidlaymiz. Ular ko'pincha turli xil buyurtmalarda bajarilishi mumkin va ba'zi hollarda, aslida, turli xil tartibda qilish osonroq bo'lishi mumkin. Bu erda biz amal qiladigan tartib shunchaki men ularni ishlashga odatlanganim uchun ishlatiladi. Agar siz uchun boshqa tartib eng yaxshi bo'lishini topsangiz, u holda siz ishlatishingiz kerak bo'lgan tartibdir.
2-qadam
Shu nuqtada biz \(x\) va \(y\)-da qanday limitlar bo'lishi haqida yaxshi fikrga ega bo'lishimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik. E'tibor bering, biz ko'pincha bu bosqichda \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy limitlarni olmaymiz. Bu erda biz topayotgan narsa - \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta chegaralar diapazoni. Ularga ega bo'lish ba'zan keyingi qadamlar uchun foydali bo'lishi mumkin, shuning uchun biz ularni shu erda olamiz.
Biz sinus va kosinus haqidagi bilimlarimizdan \(x\) va \(y\) dagi chegaralarni quyidagicha aniqlashimiz mumkin:
\[\begin{array}{c} - 1 \le \sin \left( {2t} \right) \le 1 & \hspace{1.0in} & - 1 \le \cos \left( {2t} \right) \le 1\\ - 3 \le 3\sin \left( {2t} \right) \le 3 & \hspace{1.0in} & 4 \ge - 4\cos \left( {2t} \right) \ge - 4\\ - 3 \le x \le 3 & \hspace{1.0in} & - 4 \le y \le 4\end{array}\]Esda tutingki, bu chegaralarni topish uchun biz faqat tegishli trig funksiyasidan boshlaymiz, so‘ngra \(x\) va \(y\) tenglamasini tuzamiz, agar mavjud bo‘lsa, trig funksiyasini istalgan koeffitsientga ko‘paytiramiz, so‘ngra mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan raqamlarni qo‘shib/ayitamiz (bu holda kerak emas). Bu, o'z navbatida, \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta chegaralarni beradi. Faqat tengsizlikni manfiy songa ko'paytirishda ehtiyot bo'lishni unutmang. Buni qilayotganda tengsizliklar yo'nalishini o'zgartirishni unutmang.
Endi, bu nuqtada biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu erda biz aniqlagan narsa \(x\) va \(y\) limitlari uchun mumkin bo'lgan eng katta tengsizliklardir. \(x\) va \(y\) chegaralari uchun ushbu tengsizliklar to'plami muammo bayonotida berilgan \(t\) diapazoni uchun parametrik egri chiziq hech bo'lmaganda bir marta to'liq kuzatilishini nazarda tutadi. Egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida to'liq iz qoldirmasligi har doim ham mumkin. Keyingi bosqichda biz parametrik egri chiziq to'liq izni aniqlaydimi va shuning uchun \(x\) va \(y\) dagi haqiqiy chegaralarni aniqlaymiz.
Keyingi bosqichga o'tishdan oldin biz tezda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan bir nechta masalalar mavjud.
Birinchidan, esda tutingki, parametrik egri chiziqni bir marta aniqlash haqida gapirganda, ellipsning o'zi to'liq kuzatilishi haqida gapirmasligimiz kerak. Parametrik egri chiziq eng ko'p to'liq ellips bo'ladi va biz parametrik egri chiziq ellipsning qancha qismini kuzatishini hali aniqlaganimiz yo'q. Shunday qilib, parametrik egri chiziqning bir izi ellipsning eng katta qismiga ishora qiladi, bu parametrik egri chiziq \(t\) da hech qanday limitlarsiz kuzatishi mumkin.
Ikkinchidan, agar biz \(x\) va \(y\)-dagi haqiqiy chegaralarni to'liq aniqlay olmasak, nega biz ularni bu erda qildik? Qisman biz ularni bu erda qildik, chunki biz qila olamiz va bu bosqichga javob ko'pincha \(x\) va \(y\) limitlari bilan tugaydi. Bundan tashqari, \(x\) va/yoki \(y\)-da mumkin bo'lgan eng katta chegaralarni bilish keyingi bosqichlarning ba'zilari uchun qulay bo'lgan holatlar mavjud.
Nihoyat, biz ba'zan bu chegaralarni parametrik egri chiziqdan olishimiz mumkin. Biroq, ba'zi parametrik tenglamalar mavjudki, biz ushbu bosqichni bajarmasdan eskizni osongina ololmaydi. Biz oxir-oqibat shunga o'xshash muammolarni hal qilamiz.
3-qadam
Parametrik egri chiziqning grafigini chizishdan oldin barcha parametrik egri chiziqlar harakat yo'nalishiga ega ekanligini esga olamiz. i.e. parametrning ortib borayotgan qiymatlarini ko'rsatadigan yo'nalish, bu holda \(t\).
Oldingi masalalarda biz ko'rib chiqqan usullardan biri taqdim etilgan diapazonda \(t\) namunalari uchun qiymatlar jadvalini yaratish edi. Biroq, biz ushbu bo'limning 4-masalasida trig-funksiyalarni o'z ichiga olgan parametrik tenglamalar qiymatlari jadvalini muhokama qilganimizdek, ular aldamchi bo'lishi mumkin va shuning uchun biz ushbu muammoning harakat yo'nalishini aniqlashda foydalanmaymiz.
Bundan tashqari, 4-muammodagi muhokamada ta'kidlanganidek, sinus va kosinus grafigini ko'rib chiqish qulay bo'lishi mumkin, chunki biz argumentni oshirganimizda sinus/kosinusning harakati haqida ko'p gaplashamiz.
Shunday qilib, bu muammo uchun biz harakat yo'nalishini aniqlash uchun taqdim etilgan \(t\) diapazonida sinus va kosinusning harakatini tahlil qilamiz. Biz bu yerda tahlilning 4-muammoda qilganimizdan ko‘ra tezroq versiyasini bajaramiz, shuning uchun siz bu yerga qaytib, biz bu yerdagi hamma narsani kuzatishda muammoga duch kelsangiz, muammoni tekshirib ko‘rishingiz mumkin.
Keling, \(t = 0\) dan boshlaylik, chunki bu muammoda bizga \(t\) diapazonidagi \(t\) ning birinchi qiymati. Bu shuni anglatadiki, biz \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasida parametrik egri chiziqni boshlaymiz.
Endi, agar biz \(t\) ni oshirishni boshlasak nima bo'ladi? Birinchidan, agar biz \(t\) ni oshirsak, parametrik tenglamalarda trig funksiyalarining argumenti bo‘lgan 2\(t\) ni ham oshiramiz. Xo'sh, bu \(\sin \left( {2t} \right)\) va \(\cos \left( {2t} \right)\) uchun nimani anglatadi? Avvaliga biz \(\sin \left( {2t} \right)\) noldan bittaga ko'tarilishini va shu bilan birga \(\cos \left( {2t} \right)\) ham birdan nolga kamayishi kerakligini bilamiz.
Demak, bu \(x\) (\(x = 3\sin \left( {2t} \right)\) tomonidan berilgan) 0 dan 3 gacha ko'tarilishi kerak degan ma'noni anglatadi. Xuddi shunday, bu \(y\) (\(y = - 4\cos \left( {2t} \right)\) tomonidan berilgan) -4 dan 0 ga ko'tarilishi kerak degan ma'noni anglatadi. \(y\) tenglamasi uchun e'tibor bering, koeffitsient minus bo'lsa, koeffitsient kichik ekanligini bildiradi. \(y\)-ning o'zi haqiqatan ham ortib boradi.
\(x\) va \(y\) uchun bu xatti-harakat bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi kerakligi sababli biz parametrik egri chiziqning \(\left( {0, - 4} \right)\) dan boshlanishi uchun yagona imkoniyat ekanligini ko'ramiz va \(t\) qiymatini oshirganimizda biz MATHBLOCK688 nuqtaga yetguncha soat miliga teskari yo'nalishda o'ngga o'tishimiz kerak.
OK, biz hozir \(\left( {3,0} \right)\) nuqtasidamiz, shuning uchun \(\sin \left( {2t} \right) = 1\) va \(\cos \left( {2t} \right) = 0\). Keling, \(t\) ni oshirishda davom etaylik. \(t\) ning yanada oshishi \(\sin \left( {2t} \right)\) ni 1 dan 0 ga kamaytirishga majbur qiladi va shu bilan birga \(\cos \left( {2t} \right)\) 0 dan -1 gacha kamayadi.
\(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan bu shuni anglatadiki, bir vaqtning o'zida \(x\) 3 dan 0 ga kamayadi, \(y\) esa 0 dan 4 gacha o'sishda davom etadi (\(y\) tenglamasida yana minus belgisi \(y\) kosinusu -1 dan kamayishi kerakligini anglatadi). Shunday qilib, biz \(\left( {0,4} \right)\) nuqtasiga etgunimizcha, soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilishda davom etishimiz kerak.
Qolganlari uchun biz tahlilga biroz tezroq boramiz va faqat \(x\) va \(y\) xatti-harakatlarini muhokama qilamiz va sinus va kosinusning xatti-harakatlarini muhokama qilishni o'tkazib yuboramiz.
\(t\) ning yana bir o'sishi \(x\) ni 0 dan -3 ga kamaytirishga majbur qiladi va shu bilan birga \(y\) ham 4 dan 0 ga tushishi kerak. Buning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishining yagona yo'li bu \(\left( {0,4} \right)\) dan boshlab, MATHBLOCK dan soat miliga teskari harakatda biz MATHBLOC 89 ga yetguncha ellips bo'ylab harakatlanishdir.
\(t\) ni oshirishda davom etsak va shu bilan birga \(x\) -3 dan 0 gacha ko'tarilishi va \(y\) 0 dan -4 gacha kamayishini ko'rishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, biz \(\left( { - 3,0} \right)\) dan \(\left( {0, - 4} \right)\) ga soat miliga teskari harakatda ellips bo'ylab harakatlanamiz.
Shu nuqtada biz boshlang'ich nuqtaga qaytdik va biz har doim soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalishda borib, o'sha nuqtaga qaytdik va grafikning hech qanday qismini qaytarmadik va shuning uchun endi ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu egri chiziqning harakat yo'nalishi har doim soat miliga teskari bo'ladi.
Biz boshlang'ich nuqtaga qaytgunimizcha va u erga qanday qaytib kelganimizni ko'rmagunimizcha tahlilni davom ettirish uchun bu erda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Keyinchalik muammolarda ko'rib turganimizdek, egri chiziqdan orqaga qaytish orqali u erga qaytishimiz mumkin. Bu egri chiziqning harakat yo'nalishiga ta'sir qiladi (i.e. yo'nalish o'zgaradi!). Biroq, bu holda, biz egri chiziqning biron bir qismini qaytarmasdan boshlang'ich nuqtaga qaytganimiz uchun, biz bilamizki, yo'nalish soat miliga teskari bo'lib qoladi.
4-qadam
Keling, ellipsning qancha qismi haqiqatda aniqlangani yoki muammoda bizga berilgan \(t\) diapazoni uchun ellips bir necha marta aniqlanganmi, o'ylab ko'raylik. Shuningdek, biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) diapazonlari to‘g‘ri ekanligini yoki ularni o‘zgartirishimiz zarurligini tekshirishimiz mumkin (va agar kerak bo‘lsa, ularni qanday o‘zgartirishni ham aniqlaymiz).
Oldingi bosqichdagi tahlildan ellipsning qancha qismi aniqlanganligi haqida hech qanday xulosa chiqarmaslik uchun ehtiyot bo'ling. Agar biz ushbu tahlilga amal qilsak, biz ellipsning to'liq bitta izini ko'ramiz. Biroq, biz hech qachon \(t\) ning boshlang'ich qiymatidan tashqari hech qanday qiymatlarini eslatmadik. Shu sababli, biz oldingi bosqichdagi tahlildan biz ellipsning qancha qismini yoki necha marta kuzatganimizni aniqlash uchun foydalana olmaymiz.
Keling, bu qismni oldingi bosqichda boshlagan \(t\) qiymatidan boshlaylik. Shunday qilib, \(t = 0\) da biz \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasidamiz. Endi bu nuqtaga qachon qaytamiz? Yoki boshqacha qilib aytganda, \(t\) ning \(t = 0\) dan keyin keyingi qiymati qanday bo'ladi (chunki biz boshlashni tanlagan nuqtamiz) biz \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasidamizmi?
Bu nuqtada bo'lish uchun bizda \(\sin \left( {2t} \right) = 0\) (\(x = 0\) olishning yagona yo'li!) va bizda \(\cos \left( {2t} \right) = 1\) (\(y = - 4\) olishning yagona yo'li!) bo'lishi kerakligini bilamiz. Sinus va kosinusning argumentlariga e'tibor bering! Bu qadam uchun juda muhim.
Endi, \(t > 0\) uchun biz \(\sin \left( {2t} \right) = 0\)-ni \(2t = \pi ,2\pi ,3\pi , \ldots \)-da bilamiz va xuddi shunday biz \(\cos \left( {2t} \right) = 1\)-ni \(2t = 2\pi ,4\pi ,6\pi , \ldots \)-da bilamiz. Yana sinus va kosinus argumentlariga e'tibor bering! Biz \(\sin \left( {2t} \right)\) va \(\cos \left( {2t} \right)\) ma'lum qiymatlarga ega bo'lishini xohlayotganimiz uchun 2\(t\) qiymatlarini aniqlashimiz kerak, biz izlayotgan sinus va kosinus qiymatlariga erishishimiz kerak.
Ikkala ro'yxatdagi 2\(t\) ning birinchi qiymati \(2t = 2\pi \). Bu endi biz boshlang'ich nuqtaga qaytishimiz kerak bo'lgan \(t\) qiymatini bildiradi. Biz buni faqat \(t\) uchun hal qilishimiz kerak!
\[2t = 2\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}t = \pi \]Shunday qilib, biz \(t = \pi \) ga yetganimizda, ellipsning biron bir qismini qayta kuzatmasdan, ba'zi keyingi muammolarda muhim bo'lgan boshlang'ich nuqtaga qaytamiz.
Ammo bu bizga berilgan \(t\) diapazonining o'rtasida! Xo'sh, bu biz uchun nimani anglatadi? Birinchidan, agar sinus/kosinus argumenti, masalan, \({t^2}\) yoki \(\sqrt t \) dan farqli o'laroq, faqat \(t\) nuqtai nazaridan bo'lsa, bir iz uchun \(t\) ning "aniq" diapazoni har doim bir xil bo'ladi. Shunday qilib, biz \(0 \le t \le \pi \) diapazonida bitta iz oldik va shuning uchun \(t\) ning "aniq" diapazoni bu erda \(\pi - 0 = \pi \) va shuning uchun har qanday diapazondir. \(\pi \) oralig'idagi \[t\] ellipsni bir marta aniqlaydi.
Bu shuni anglatadiki, ellips ham \(\pi \le t \le 2\pi \) oralig'ida aniq bir marta izlanadi. Shunday qilib, bu holda, ellips \(0 \le t \le 2\pi \) oralig'ida ikki marta kuzatilganga o'xshaydi.
Ushbu tahlil, shuningdek, parametrik egri chiziq muammo bayonotida berilgan \(t\) diapazonidagi toʻliq ellipsni kuzatishini koʻrsatdi (aslida bir necha marta!) va shuning uchun biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) chegaralari aslida \(t\) va MATH6BLOCK13TH egri chizigʻining haqiqiy chegaralari ekanligini bilamiz.
Ushbu bosqichni tark etishdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, siz 3-bosqichda qilgan yo'nalish tahlilini yaxshi o'rganganingizdan so'ng, egri chiziqning yo'nalishini va qismini olish uchun 3 va 4-bosqichlarni tahlil qilish bir bosqichga birlashtira olasiz. Biroq, dastlab ularni alohida bajarish biroz osonroq bo'lishi mumkin.
5-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz bir nechta nuqtalarni va ularga mos keladigan \(t\) qiymatlarini ko'rsatish uchun \(t\) to'plamini kiritdik. Ba'zi amaliyotlar uchun siz 4-bosqichdagi tahlilga amal qilib, grafikdagi qolgan uchta nuqta uchun \(t\) qiymatlarini tekshirishingiz mumkin. Albatta, tekshirish uchun ularni ulash osonroq bo'lardi, ammo 4-bosqich tahlili amaliyoti siz uchun foydali bo'lishi mumkin.
Bundan tashqari, bu erda so'ralgan muammo bu parametrik egri chiziq uchun \(x\) va \(y\) uchun rasmiy chegaralardir.
\[ - 3 \le x \le 3\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - 4 \le y \le 4\]Shuningdek, ushbu bo'limdagi 4 va 6-masalalarni ko'rib chiqishingiz va egri chiziq izlari sonini ushbu muammo bilan taqqoslashingiz kerak. 4, 5 va 6-masalalardagi parametrik tenglamalar to‘plamidagi farq faqat trig funksiyalarining argumentidir. Ushbu uchta muammoni ko'rib chiqqandan so'ng, trig funktsiyalarining argumenti ushbu turdagi parametrik tenglamalar uchun parametrik egri chiziqlarga qanday ta'sir qilishi haqida biron bir xulosaga kela olasizmi?