9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
4. Quyidagi parametrik tenglamalar to‘plami uchun parametrni olib tashlang, parametrik egri chiziqning grafigini chizing va \(x\) va \(y\) da mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan chegaralarni keltiring.
\[x = 3\sin \left( t \right)\hspace{0.5in}y = - 4\cos \left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,0 \le t \le 2\pi \]Yechim
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun biz taniqli trig identifikatoridan foydalanamiz,
\[{\cos ^2}\left( \theta \right) + {\sin ^2}\left( \theta \right) = 1\]Sinus va kosinus uchun har bir parametrik tenglamani quyidagicha yechishimiz mumkin:
\[\sin \left( t \right) = \frac{x}{3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\cos \left( t \right) = - \frac{y}{4}\]Bularni trig identifikatoriga ulash,
\[{\left( { - \frac{y}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]Shuning uchun parametrik egri chiziq yuqoridagi ellipsning bir qismi yoki barchasi bo'ladi.
Parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlashda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Faqat \(x\) va \(y\) da hosil bo‘lgan tenglamaning grafigi parametrik egri chiziqning grafigi bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Ko'pincha, har doim bo'lmasa ham, parametrik egri faqat \(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan tenglamadan egri chiziqning faqat bir qismi bo'ladi. Roʻy berishi mumkin boʻlgan yana bir holat shundaki, parametrik egri chiziq tenglamadan faqat \(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan bir necha marta yoki bir necha marta egri chiziqni qaytaradi.
Keyingi bir necha qadamlar ellipsning qancha qismi borligini va u ellipsni yoki ellipsning bir qismini bir necha marta orqaga qaytarishini aniqlashga yordam beradi.
Muammoning qolgan qismini davom ettirishdan oldin, qadamlarni bajarish uchun aniq tartib yo'qligini ta'kidlaymiz. Ular ko'pincha turli xil buyurtmalarda bajarilishi mumkin va ba'zi hollarda, aslida, turli xil tartibda qilish osonroq bo'lishi mumkin. Bu erda biz amal qiladigan tartib shunchaki men ularni ishlashga odatlanganim uchun ishlatiladi. Agar siz uchun boshqa tartib eng yaxshi bo'lishini topsangiz, u holda siz ishlatishingiz kerak bo'lgan tartibdir.
2-qadam
Shu nuqtada biz \(x\) va \(y\)-da qanday limitlar bo'lishi haqida yaxshi fikrga ega bo'lishimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik. E'tibor bering, biz ko'pincha bu bosqichda \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy limitlarni olmaymiz. Bu erda biz topayotgan narsa - \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta chegaralar diapazoni. Ularga ega bo'lish ba'zan keyingi qadamlar uchun foydali bo'lishi mumkin, shuning uchun biz ularni shu erda olamiz.
Quyidagi tengsizliklarni olish uchun sinus va kosinus haqidagi bilimlarimizdan foydalanishimiz mumkin. Yuqorida muhokama qilinganidek, lekin bu biz kutayotgan \(x\) va \(y\) uchun limitlar bo'lmasligi mumkinligini unutmang.
\[\begin{array}{ccc} - 1 \le \sin \left( t \right) \le 1 & \hspace{1.0in} & - 1 \le \cos \left( t \right) \le 1\\ - 3 \le 3\sin \left( t \right) \le 3 & \hspace{1.0in} & 4 \ge - 4\cos \left( t \right) \ge - 4\\ - 3 \le x \le 3 & \hspace{1.0in} & - 4 \le y \le 4\end{array}\]Esda tutingki, bu chegaralarni topish uchun biz faqat tegishli trig funksiyasidan boshlaymiz, so‘ngra \(x\) va \(y\) tenglamasini tuzamiz, agar mavjud bo‘lsa, trig funksiyasini istalgan koeffitsientga ko‘paytiramiz, so‘ngra mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan raqamlarni qo‘shib/ayitamiz (bu holda kerak emas). Bu, o'z navbatida, \(x\) va \(y\) uchun mumkin bo'lgan eng katta chegaralarni beradi. Faqat tengsizlikni manfiy songa ko'paytirishda ehtiyot bo'lishni unutmang. Buni qilayotganda tengsizliklar yo'nalishini o'zgartirishni unutmang.
Endi, bu nuqtada biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu erda biz aniqlagan narsa \(x\) va \(y\) limitlari uchun mumkin bo'lgan eng katta tengsizliklardir. \(x\) va \(y\) chegaralari uchun ushbu tengsizliklar to'plami muammo bayonotida berilgan \(t\) diapazoni uchun parametrik egri chiziq hech bo'lmaganda bir marta to'liq kuzatilishini nazarda tutadi. Egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida to'liq iz qoldirmasligi har doim ham mumkin. Keyingi bosqichda biz parametrik egri chiziq to'liq izni aniqlay oladimi yoki yo'qligini aniqlaymiz va shuning uchun \(x\) va \(y\) dagi haqiqiy chegaralarni aniqlaymiz.
Keyingi bosqichga o'tishdan oldin biz tezda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan bir nechta masalalar mavjud.
Birinchidan, esda tutingki, parametrik egri chiziqni bir marta aniqlash haqida gapirganda, ellipsning o'zi to'liq kuzatilishi haqida gapirmasligimiz kerak. Parametrik egri chiziq eng ko'p to'liq ellips bo'ladi va biz parametrik egri chiziq ellipsning qancha qismini kuzatishini hali aniqlaganimiz yo'q. Shunday qilib, parametrik egri chiziqning bir izi ellipsning eng katta qismiga ishora qiladi, bu parametrik egri chiziq \(t\) da hech qanday limitlarsiz kuzatishi mumkin.
Ikkinchidan, agar biz \(x\) va \(y\)-dagi haqiqiy chegaralarni to'liq aniqlay olmasak, nega biz ularni bu erda qildik? Qisman biz ularni bu erda qildik, chunki biz qila olamiz va bu bosqichga javob ko'pincha \(x\) va \(y\) limitlari bilan tugaydi. Bundan tashqari, \(x\) va/yoki \(y\)-da mumkin bo'lgan eng katta chegaralarni bilish keyingi bosqichlarning ba'zilari uchun qulay bo'lgan holatlar mavjud.
Nihoyat, biz ba'zan bu chegaralarni parametrik egri chiziqdan olishimiz mumkin. Biroq, ba'zi parametrik tenglamalar mavjudki, biz ushbu bosqichni bajarmasdan eskizni osongina ololmaydi. Biz oxir-oqibat shunga o'xshash muammolarni hal qilamiz.
3-qadam
Parametrik egri chiziqning grafigini chizishdan oldin barcha parametrik egri chiziqlar harakat yo'nalishiga ega ekanligini esga olamiz. i.e. parametrning ortib borayotgan qiymatlarini ko'rsatadigan yo'nalish, bu holda \(t\).
Egri chiziq uchun harakat yo'nalishini olishning bir necha yo'li mavjud. Ulardan biri, harakat yo'nalishini aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ba'zi nuqtalarni olish uchun \(t\) qiymatlarini parametrik tenglamalarga qo'shishdir.
Mana bu parametrik tenglamalar to'plami uchun qiymatlar jadvali. Bu holda bizga \(t\) diapazoni ham berildi va biz jadvalimizdagi \(t\)-larni shu diapazon bilan cheklashimiz kerak.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | -4 |
| \(\frac{\pi }{2}\) | 3 | 0 |
| \(\pi \) | 0 | 4 |
| \(\frac{{3\pi }}{2}\) | -3 | 0 |
| \(2\pi \) | 0 | -4 |
Endi bu jadval parametrik tenglama soat miliga teskari aylanishda ellips bo'ylab harakatlanishini ko'rsatadi. Bundan tashqari, ellips aniq bir marta kuzatilishini taklif qiladi.
Biroq, sinus va/yoki kosinus tenglamalarini o'z ichiga olgan parametrik tenglamalar uchun qiymatlar jadvallari aldamchi bo'lishi mumkin.
Sinus va kosinus tebranayotganligi sababli, \(t\) ning “yomon” qiymatlarini tanlash mumkin, ular bitta izni taklif qiladi, vaholanki, egri chiziq biz tushunganimizdan tezroq aniqlanadi va u bir necha marta aniqlanadi. Ellips bir marta yoki bir necha marta kuzatilganligini tekshirish uchun biz qo'shimcha tahlil qilishimiz kerak.
Bundan tashqari, jadval ma'lum bir yo'nalishni taklif qilgani, aslida u shu yo'nalishda ketayotganini anglatmaydi. U teskari yo'nalishda jadvalda olgan nuqtalaringizga mos keladigan tezlikda harakatlanishi mumkin. Qaydlarga qayting va 5-misolni ko'rib chiqing. Yuqoridagi jadvalimizda biz ishlatgan nuqtalarni kiriting va siz egri chiziq soat yo'nalishi bo'yicha chizilganligini ko'rsatadigan nuqtalar to'plamiga ega bo'lasiz, lekin aslida u soat miliga teskari chizilgan!
E'tibor bering, bu harakat yo'nalishini aniqlashning "yomon" usuli bo'lgani uchun biz uni batafsil muhokama qilishimiz uchun uni o'z qadamiga qo'yamiz. Biz foydalanadigan haqiqiy usul keyingi bosqichda va agar muammoning boshqa qismi uchun mutlaqo talab qilinmasa, biz yana jadval ishini qilmaymiz.
4-qadam
Oldingi bosqichda taklif qilinganidek, qiymatlar jadvali trig funktsiyasini o'z ichiga olgan parametrik egri chiziqlar uchun harakat yo'nalishini olishning yaxshi usuli emas, shuning uchun harakat yo'nalishini aniqlashning ancha yaxshi usulini ko'rib chiqaylik. Bu usul narsalarni o'ylab ko'rish uchun biroz vaqt talab etadi, lekin agar vaqt ajratsangiz, u doimo to'g'ri yo'nalishga ega bo'ladi.
Birinchidan, agar biz \(t = 0\) dan boshlasak va \(t\) ni \(t = \pi \) ga oshirsak nima bo'lishini o'ylab ko'raylik.
\(t\) ning ushbu diapazonini qamrab olganimizda, biz bilamizki, kosinus 1 dan boshlanadi, nolga kamayadi va nihoyat -1 da to'xtaydi. Demak, bu \(y\) \(y = - 4\) da boshlanadi degan ma'noni anglatadi (i.e. kosinus 1 bo'lsa), \(x\) o'qidan o'ting (i.e. bu erda kosinus nolga teng) va nihoyat \(y = 4\) (i.e. bu erda kosinus -1). Endi, bu bizga harakat yo'nalishini bermaydi, chunki hamma narsa bizga \(y\) ortib borishini va buni ellipsning o'ng tomonida amalga oshirishi mumkinligini aytadi (i.e. soat miliga teskari) yoki buni ellipsning chap tomonida (i.e. soat yo'nalishi bo'yicha).
Keling, ushbu diapazondagi sinusning xatti-harakati bizga nimani bildirishini ko'rib chiqaylik. \(t = 0\) dan boshlab biz sinus nolga teng bo'lishini bilamiz va shuning uchun \(x\) ham nolga teng bo'ladi. \(t\) \(t = \frac{\pi }{2}\) ga oshgani sayin, biz bilamizki, sinus noldan birgacha ortadi va shuning uchun \(x\) noldan uchga ko'tariladi. Nihoyat, biz \(t\) ni \(t = \pi \) ga oshirganimizda sinusi birdan nolga kamayadi va shuning uchun \(x\) ham uchdan nolga kamayadi.
Shunday qilib, yuqoridagi \(x\) va \(y\) tahlillarini birgalikda olib borsak, \(t = 0\) da egri chiziq \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasidan boshlanishini ko'rishimiz mumkin. \(t\) ni \(t = \frac{\pi }{2}\) ga oshirganimizda egri chiziq \(\left( {3,0} \right)\) nuqtasiga yetguncha \(x\) va \(y\) ortishi bilan ellips bo‘ylab harakatlanishi kerak bo‘ladi. Ushbu ikkinchi nuqtaga erishish va \(x\) va \(y\) uchun to'g'ri o'sish xatti-harakatlariga ega bo'lishning yagona yo'li - bu ellipsning o'ng yarmi bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilishdir.
Agar biz \(t\) ni \(t = \frac{\pi }{2}\) dan \(t = \pi \) ga oshirsak, \(y\) o‘sishda davom etishi kerakligini ko‘ramiz, lekin \(x\) endi \(\left( {0,4} \right)\) nuqtasiga yetgunimizcha kamayadi va yana bu uchinchi nuqtaga etib borishimiz va MATHBLOCK88MA uchun zarur bo‘lgan oshirish/kamaytirish ma’lumotlariga ega bo‘lishning yagona yo‘li bu. o'ng yarmi bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda harakatlaning.
Shunga o'xshash tahlilni \(t\) ni \(t = \pi \) dan \(t = 2\pi \) ga oshirib, bizni \(\left( { - 3,0} \right)\) nuqtasi orqali olib boradigan va nihoyat \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasida tugaydigan soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin.
Shunday qilib, ushbu tahlildan biz egri chiziq soat miliga teskari yo'nalishda harakatlanishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.
Ushbu tahlil murakkab ko'rinadi va uni birinchi marta ko'rganingizda qilish unchalik oson emas. Biroq, buni bir necha marta qilganingizdan so'ng, bu dastlab ko'rinadigan darajada yomon emasligini ko'rasiz. Bundan tashqari, bu sinus va/yoki kosinusni o'z ichiga olgan parametrik tenglamalar bilan ishlashda egri chiziq uchun to'g'ri harakat yo'nalishiga ega ekanligingizni kafolatlashning yagona yo'li.
Agar siz \(t\) ni oshirganimizda sinus va kosinusning qanday o‘zgarganini tasavvur qilishda qiynalayotgan bo‘lsangiz, sinus va kosinus grafiklarining qisqacha eskizini chizishingiz mumkin va biz \(t\) ni oshirganimizda ularning xatti-harakatlarini tahlil qilishda to‘g‘ri ekanligimizni darhol ko‘rasiz.
5-qadam
Xo'sh, oxirgi bosqichda e'tibor bering, biz egri chiziq \(t\) diapazonida ellipsni aniq bir marta kuzatib borishini ham ko'rsatdik. Biroq, biz hali yo'nalish tahlilini qilmaganmiz va yo'nalish tahlilisiz buni aniqlay olamizmi, deb faraz qilaylik.
Buni amalga oshirish juda oddiy yoki hech bo'lmaganda yo'nalish tahlilidan ko'ra oddiyroq. Buning uchun faqat sinus va kosinus nol, 1 va -1 ekanligini bilishingiz kerak. Agar siz birlik doirangizni eslasangiz, sinus va kosinusning bu qiymatlari qayerda ekanligini bilish har doim oson. Shuningdek, biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) diapazonlari aslida \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy diapazonlar ekanligini tekshirishimiz mumkin.
Egri chiziqdagi "boshlang'ich" nuqtadan boshlaylik, i.e. Bu holda \(t\) diapazonining chap tomonidagi nuqta, \(t = 0\). Ushbu tahlilni qaerdan boshlashingiz haqiqatan ham parametrik tenglamalar to'plamiga, parametrik egri chiziqqa va/yoki berilgan \(t\) diapazoni mavjudligiga bog'liq. Yaxshi boshlang'ich nuqtalar "boshlang'ich" nuqta, egri chiziqning oxirgi nuqtalaridan biri (agar egri chiziqning so'nggi nuqtalari bo'lsa) yoki \(t = 0\). Ba'zida bitta variant boshqalardan ko'ra yaxshiroq bo'ladi va boshqa paytlarda bu muhim emas.
Bu holda variantlardan ikkitasi bir xil nuqta, shuning uchun foydalanish uchun yaxshi nuqta kabi ko'rinadi.
Shunday qilib, \(t = 0\) da biz \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasidamiz. Biz bilamizki, parametrik egri chiziq biz birinchi bosqichda topilgan ellipsning bir qismi yoki barchasidir. Shunday qilib, keling, bu to'liq ellips deb faraz qilaylik va o'zimizga quyidagi savolni beramiz. Bu nuqtaga qachon qaytamiz? Yoki boshqacha qilib aytganda, \(t\) ning \(t = 0\) dan keyingi qiymati qanday bo'ladi (chunki biz boshlashni tanlagan nuqtamiz) biz \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasiga qaytdikmi?
Buni amalga oshirishdan oldin, shuni ta'kidlab o'tamizki, agar parametrik egri chiziq bu nuqtaga qaytmasa, biz keyingi tahlilda buni aniqlaymiz va bu bizga parametrik egri chiziq orqali ellipsning qancha qismi kuzatilishini aniqlashda yordam beradi.
OK, tahlilga qaytaylik. \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasida bo'lish uchun bizda \(\sin \left( t \right) = 0\) (\(x = 0\) olishning yagona yo'li!) va bizda \(\cos \left( t \right) = 1\) (\(y = - 4\) olishning yagona yo'li!) bo'lishi kerakligini bilamiz. \(t > 0\) uchun biz \(\sin \left( t \right) = 0\)-ni \(t = \pi ,2\pi ,3\pi , \ldots \)-da bilamiz va xuddi shunday biz \(\cos \left( t \right) = 1\)-ni \(t = 2\pi ,4\pi ,6\pi , \ldots \)-da bilamiz. Ikkala ro'yxatdagi \(t\) ning birinchi qiymati \(t = 2\pi \) va shuning uchun bu bizni o'sha nuqtaga qo'yadigan \(t\) ning keyingi qiymati.
Bu bizga bir nechta narsalarni aytib beradi. Birinchidan, biz parametrik tenglama dastlabki nuqtaga qaytishini aniqladik va shuning uchun parametrik tenglama to'liq ellipsni kuzatishi mumkin.
Ikkinchidan, muammo bayonida berilgan \(t\) diapazonidan biz \(t\)ning oxirgi nuqtasida \(\left( {0, - 4} \right)\) nuqtasiga qaytdik va shuning uchun parametrik egri chiziq \(t\) diapazoni uchun ellipsni aynan bir marta aniqlab beradi.
Nihoyat, ushbu tahlil natijasida biz muammo bayonotida berilgan \(t\) diapazonidagi toʻliq ellipsni aniqlagan parametrik egri chiziqni topdik va shuning uchun biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) chegaralari aslida bu egri chiziq uchun \(x\) va \(y\) uchun haqiqiy chegaralar ekanligini bilamiz.
Ushbu bosqichning yakuniy sharhi sifatida shuni ta'kidlaymizki, ushbu bosqichdagi tahlil odatdagidan biroz osonroq edi, chunki trig funktsiyalarining argumenti 2\(t\) yoki \(\frac{1}{3}t\) dan farqli o'laroq, faqat \(t\) edi, bu tahlilni biroz murakkablashtiradi. Bunday argumentlar bilan qanday kurashishni keyingi bir nechta muammolarda ko'rib chiqamiz.
6-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz jadvalimizdagi fikrlarni qo'shdik, chunki bizda ular bor edi, lekin biz ularni har doim ham kiritmaymiz, chunki biz ko'pincha eskizning o'zi va harakat yo'nalishi bilan qiziqamiz.
Bundan tashqari, bu erda so'ralgan muammo bu parametrik egri chiziq uchun \(x\) va \(y\) uchun rasmiy chegaralardir.
\[ - 3 \le x \le 3\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - 4 \le y \le 4\]Ushbu muammo bo'yicha yakuniy fikrlar to'plami sifatida siz haqiqatan ham orqaga qaytishingiz va 4-qadam va 5-bosqichda biz qanday jarayonlarni boshdan kechirganimizni tushunganingizga ishonch hosil qilishingiz kerak. Ko'pincha bular biz ushbu bosqichlarda topilgan ma'lumotlarni olishning eng yaxshi usuli hisoblanadi. Jarayonlar boshida biroz sirli bo'lib ko'rinishi mumkin, lekin juftlikni qilganingizdan so'ng, bu birinchi paydo bo'lgandek yomon emasligini bilib olasiz.
Bundan tashqari, ushbu bo'limdagi qolgan muammolar uchun biz \(t\) qiymatlari jadvalini faqat muammo uchun juda zarur bo'lsa, tuzamiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz 4 va 5-bosqichlarda ishlatgan jarayon parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini olish va egri chiziq bir necha marta kuzatilgan yoki yo'qligini aniqlash uchun foydalanadigan jarayonlar bo'ladi.
Shuningdek, ushbu bo'limdagi 5 va 6-masalalarni ko'rib chiqishingiz va egri chiziqning izlari sonini ushbu muammo bilan taqqoslashingiz kerak. 4, 5 va 6-masalalardagi parametrik tenglamalar to‘plamidagi farq faqat trig funksiyalarining argumentidir. Ushbu uchta muammoni ko'rib chiqqandan so'ng, trig funktsiyalarining argumenti ushbu turdagi parametrik tenglamalar uchun parametrik egri chiziqlarga qanday ta'sir qilishi haqida biron bir xulosaga kela olasizmi?