9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
3. Quyidagi parametrik tenglamalar to‘plami uchun parametrni olib tashlang, parametrik egri chiziqning grafigini chizing va \(x\) va \(y\) da mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan chegaralarni keltiring.
\[x = \sqrt {t + 1} \hspace{0.5in}y = \frac{1}{{t + 1}}\hspace{0.5in}\hspace{0.5in}\,\,\,t > - 1\]Yechim
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun, agar biz quyidagilarni ko'rsak, buni qilish juda oson.
\[x = \sqrt {t + 1} \,\,\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x^2} = t + 1\]Bu bilan biz \(y\) tenglamasini tezda o'zgartira olamiz:
\[y = \frac{1}{{{x^2}}}\]2-qadam
Shu nuqtada biz \(x\) va \(y\)-da limitlarni juda tez olishimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik.
Birinchidan, biz bilamizki, kvadrat ildizlar har doim ijobiy qiymatlarni (yoki nol) qaytaradi va shuning uchun \(x\) tenglamasidan biz \(x > 0\)ga ega bo'lishimiz kerakligini ko'ramiz. Shuni ham yodda tutingki, bu qat'iy tengsizlik bo'lishi kerak, chunki \(t\) diapazonini cheklovchi tengsizlik ham qat'iy tengsizlikdir. Boshqacha qilib aytganda, biz \(t = - 1\) ga ruxsat bermaganimiz uchun biz hech qachon \(x = 0\) ni olmaymiz.
Bu haqda gapirganda, nima uchun biz \(t\)-ni cheklaganimizni tushunasiz, shunday emasmi?
Endi, \(t\)-dagi cheklovimizdan biz \(t + 1 > 0\) va shunga o'xshash \(y\) parametrik tenglamasidan bizda \(y > 0\) bo'lishi kerakligini bilib olamiz. Bu 1-bosqichda topilgan parametrsiz tenglamadan ko'rgan narsamizga mos keladi.
Shunday qilib, bularning barchasini bir joyga jamlagan holda \(x\) va \(y\) limitlari mavjud.
\[x > 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y > 0\]E'tibor bering, ushbu muammo uchun ushbu limitlar muhim (yoki hech bo'lmaganda \(x\) chegaralari muhim). Parametrik tenglamadan olingan \(x\) chegarasi tufayli biz birinchi bosqichda topilgan tenglamaning to'liq grafigiga ega bo'lmasligimizni ko'rishimiz mumkin. Bizda faqat \(x > 0\) ga mos keladigan qism bo'ladi.
3-qadam
Parametrik egri chiziqning grafigini chizishdan oldin barcha parametrik egri chiziqlar harakat yo'nalishiga ega ekanligini esga olamiz. i.e. parametrning ortib borayotgan qiymatlarini ko'rsatadigan yo'nalish, bu holda \(t\).
Egri chiziq uchun harakat yo'nalishini olishning bir necha yo'li mavjud. Ulardan biri, harakat yo'nalishini aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ba'zi nuqtalarni olish uchun \(t\) qiymatlarini parametrik tenglamalarga qo'shishdir.
Mana bu parametrik tenglamalar to'plami uchun qiymatlar jadvali.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| -0.95 | 0.2236 | 20 |
| -0.75 | 0.5 | 4 |
| 0 | 1 | 1 |
| 2 | \(\sqrt 3 \) | \(\frac{1}{3}\) |
E'tibor bering, harakat yo'nalishini aniqlashning osonroq yo'li bor (ehtimol - bu sizga bog'liq bo'ladi). \(x\) tenglamasini tezda ko'rib chiqing.
\[x = \sqrt {t + 1} \,\]\(t\) qiymatini oshirish \(t\) + 1 ning oshishiga olib keladi va kvadrat ildiz ham oshadi (agar xohlasak, biz tez hosilaviy/hisob I tahlili bilan tekshirishimiz mumkin). Bu shuni anglatadiki, jadvaldagi yuqoridagi qiymatlar jadvali qo'llab-quvvatlaganidek, grafik chapdan o'ngga qarab chizilgan bo'lishi kerak.
Xuddi shunday, biz \(y\) tenglamasidan foydalanishimiz mumkin.
\[y = \frac{1}{{t + 1}}\]Yana shuni bilamizki, \(t\) oshgani sayin \(t\) + 1 ham oshadi. \(t\) + 1 maxrajda bo'lgani uchun biz buni ko'paytirish kasrning va shuning uchun \(y\)ning kamayishiga olib kelishini ko'rishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, grafik yuqoridan pastgacha chizilgan bo'lishi kerak, chunki \(x\) tenglamasi ham, qiymatlar jadvali ham qo'llab-quvvatlaydi.
Parametrik tenglamalardan birini yoki har ikkalasini tez hisoblash tahlilidan foydalanish parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini aniqlashning eng yaxshi va oson usuli hisoblanadi. "Oddiy" parametrik tenglamalar uchun biz ko'pincha parametrik tenglamalarga tez qarash asosida yo'nalishni olishimiz mumkin va bu jadval uchun \(t\) ning "yaxshi" qiymatlarini tanlashdan qochadi.
4-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz jadvalimizdagi fikrlarni qo'shdik, chunki bizda ular bor edi, lekin biz ularni har doim ham kiritmaymiz, chunki biz ko'pincha eskizning o'zi va harakat yo'nalishi bilan qiziqamiz.