9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
2. Quyidagi parametrik tenglamalar to‘plami uchun parametrni chiqarib tashlang, parametrik egri chiziqning grafigini chizing va \(x\) va \(y\) da mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan chegaralarni keltiring.
\[x = 4 - 2t\hspace{0.5in}y = 3 + 6t - 4{t^2}\hspace{0.25in}0 \le t \le 3\]Yechim
Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, biz tan olishimiz kerakki, bu muammo haqiqatan ham birinchi muammo bo'yicha cheklovdir (i.e. biz \(t\) qiymatlarini ishlatishni cheklaganimizdan tashqari, xuddi shu muammo). Shunday qilib, biz faqat birinchi muammoga qaytishimiz va tezkor hal qilish uchun \(t\) ning cheklangan qiymatlariga mos keladigan eskizni o'zgartirishimiz mumkin va umuman, bu kabi muammo qanday ishlaydi.
Biroq, biz bu yechimga xuddi bu o'z muammosi kabi yondashamiz, chunki bizda har doim ham umumiy muammoni muddatidan oldin hal qilish mumkin emas. Shunday qilib, keling, ushbu bo'limdagi birinchi muammoni hal qilmagan bo'lsak, muammoni hal qilaylik.
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun biz buni \(t\) uchun \(x\) tenglamasini yechish va uni \(y\) tenglamasiga ulash orqali amalga oshirishimiz mumkin.
Bu shuni beradi (barcha algebra bitlarini tekshirishni sizga qoldiramiz ...),
\[t = \frac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\hspace{0.5in}\,\, \to \hspace{0.5in}\,\,\,y = 3 + 6\left[ {\frac{1}{2}\left( {4 - x} \right)} \right] - 4{\left[ {\frac{1}{2}\left( {4 - x} \right)} \right]^2} = - {x^2} + 5x - 1\]2-qadam
OK, bundan bizda pastga ochiladigan parabola borga o'xshaydi. Buning grafigini chizish uchun bizga \(x\)-kesishmalar, \(y\)-kesishmalar va eng muhimi cho'qqi kerak bo'ladi.
Belgilash uchun \(f\left( x \right) = - {x^2} + 5x - 1\) ni aniqlaymiz.
Keyin \(x\)-kesishmalar \(f\left( x \right) = 0\) ni yechish orqali topiladi. Shunday qilib,
\[ - {x^2} + 5x - 1 = 0\hspace{0.5in}\,\,\,\, \to \hspace{0.5in}\,\,\,x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{{\left( 5 \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)} }}{{2\left( { - 1} \right)}} = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2} = 0.2087,\,\,\,4.7913\]\(y\)-kesishmasi: \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) = \left( {0, - 1} \right)\).
Nihoyat, cho'qqi,
\[\left( { - \frac{b}{{2a}},f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{{2\left( { - 1} \right)}},f\left( {\frac{5}{2}} \right)} \right) = \left( {\frac{5}{2},\frac{{21}}{4}} \right)\]3-qadam
Parametrik egri chiziqning grafigini chizishdan oldin barcha parametrik egri chiziqlar harakat yo'nalishiga ega ekanligini esga olamiz. i.e. parametrning ortib borayotgan qiymatlarini ko'rsatadigan yo'nalish, bu holda \(t\).
Egri chiziq uchun harakat yo'nalishini olishning bir necha yo'li mavjud. Ulardan biri, harakat yo'nalishini aniqlashda foydalanishimiz mumkin bo'lgan ba'zi nuqtalarni olish uchun \(t\) qiymatlarini parametrik tenglamalarga qo'shishdir.
Mana bu parametrik tenglamalar to'plami uchun qiymatlar jadvali. Shuni ham yodda tutingki, biz \(t\) qiymatini ushbu muammo uchun cheklaganimiz sababli, foydalanish uchun \(t\) qiymatlarini tanlaganimizda buni yodda tutishimiz kerak.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| 0 | 4 | 3 |
| \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{5}{2}\) | \(\frac{{21}}{4}\) |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 0 | -1 |
| 3 | -2 | -15 |
E'tibor bering, \(t = \frac{3}{4}\) parabolaning uchini beradigan \(t\) qiymati bo'lib, \(t\) ning aniq qiymati emas! Aslida, bu grafikni chizish uchun faqat \(t\) qiymatlaridan foydalanish parametrik egri chiziqni olishning yomon usuli ekanligiga yaxshi misoldir. Foydalanish uchun yaxshi \(t\) to'plamini aniqlash juda qiyin.
Ushbu jadval uchun biz birinchi navbatda cho'qqining koordinatalarini bilganimizdan foydalanib, \(t\) cho'qqisini topdik (bu misol uchun \(x\) koordinatasi muhim edi) quyidagicha:
\[x = \frac{5}{2}\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\frac{5}{2} = 4 - 2t\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}\,\,t = \frac{3}{4}\]\(t\) ning ushbu qiymati topilgandan so'ng, eskizimiz uchun \(t\) ni yaxshi ko'rsatish uchun ikkala tomonga \(t\) ning bir nechta qiymatlarini tanladik.
E'tibor bering, bu holatda biz \(t\) ning cho'qqisiga mos keladigan qiymatini topish uchun \(x\)-koordinatalaridan foydalanganmiz, chunki bu tenglama chiziqli tenglama edi va \(t\) uchun faqat bitta yechim bo'ladi. Agar biz \(y\)-koordinatasini ishlatganimizda, ikkita \(t\)ga olib keladigan kvadratikni (albatta qilish qiyin emas) hal qilishimiz kerak edi. Muammo shundaki, faqat bitta \(t\) bu muammoning cho'qqisini beradi va shuning uchun biz to'g'risini aniqlash uchun ularni \(x\) tenglamasida tekshirishimiz kerak. Shunday qilib, bu holda biz boshidanoq \(x\) tenglamasidan foydalanishimiz mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, harakat yo'nalishini aniqlashning osonroq yo'li (ehtimol - bu sizga bog'liq bo'ladi). \(x\) tenglamasini tezda ko'rib chiqing.
\[x = 4 - 2t\]\(t\) oldidagi minus belgisi tufayli biz \(t\) ortishi bilan \(x\) kamayishi kerakligini ko'rishimiz mumkin (agar xohlasak, biz tez hosilaviy/hisob I tahlili bilan tekshirishimiz mumkin). Bu shuni anglatadiki, grafik o'ngdan chapga qarab chizilgan bo'lishi kerak, chunki jadvaldagi yuqoridagi qiymatlar jadvali ham ko'rsatadi.
Parametrik tenglamalardan birini yoki har ikkalasini tez hisoblash tahlilidan foydalanish parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini aniqlashning eng yaxshi va oson usuli hisoblanadi. "Oddiy" parametrik tenglamalar uchun biz ko'pincha parametrik tenglamalarga tez qarash asosida yo'nalishni olishimiz mumkin va bu jadval uchun \(t\) ning "yaxshi" qiymatlarini tanlashdan qochadi.
4-qadam
Keling, \(x\) va \(y\) limitlarini bilib olaylik va egri chiziqni chizishni boshlashdan oldin bular bizga haqiqatan ham kerakligini ta'kidlaymiz!
Bu holda bizda pastga ochiladigan parabola bor va biz undan \(x\) va \(y\) uchun umumiy limitlar to'plamini olish uchun foydalanishimiz mumkin. Biroq, bu muammo uchun biz foydalanadigan \(t\) qiymatlarini ham cheklab qo'ydik va bu o'z navbatida grafik eskizi uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan \(x\) va \(y\) qiymatlarini cheklaydi.
Yuqorida muhokama qilganimizdek, biz bilamizki, grafik o'ngdan chapga chiziladi va shuning uchun \(x\) ning eng o'ng qiymati \(t = 0\) dan keladi, ya'ni \(x = 4\). Xuddi shunday, \(y\) ning eng chap qiymati \(x = - 2\) bo'lgan \(t = 3\) dan keladi. Shunday qilib, biz \(x\) dagi limitlar \( - 2 \le x \le 4\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.
\(y\) limitlari uchun biz biroz ehtiyotkor bo'lishimiz kerak. Birinchidan, biz bilamizki, cho'qqi berilgan \(t\) diapazonida joylashgan va parabola pastga qarab ochilganligi sababli \(y\) ning eng katta qiymati \(y = \frac{{21}}{4}\) bo'ladi, i.e. uchining \(y\)-koordinatasi. Bundan tashqari, parabola pastga ochilganligi sababli, \(y\) ning eng kichik qiymati oxirgi nuqtalardan birida bo'lishi kerakligini bilamiz. Shunday qilib, \(t = 0\) uchun bizda \(y = 3\) va \(t = 3\) uchun bizda \(y = - 15\) bor. Shuning uchun \(y\) dagi limitlar \( - 15 \le y \le \frac{{21}}{4}\) bo'lishi kerak.
Shunday qilib, bularning barchasini bir joyga jamlagan holda, \(x\) va \(y\) limitlari mavjud.
\[ - 2 < x < 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - 15 \le y \le \frac{{21}}{4}\]Esda tutingki, bu muammo uchun biz eskiz bosqichidan oldin ushbu limitlarga ega bo'lishimiz kerak. Biz \(t\) qiymatlarini ishlatish uchun cheklaganimiz sababli, biz \(x\) va \(y\) uchun limitlarga ega bo'lamiz (biz hozirgina muhokama qilganimizdek) va shuning uchun biz to'liq parabola grafigining faqat bir qismiga ega bo'lamiz. ushbu limitlarga ega bo'lish bizga parametrik egri chiziqning eskizini olish imkonini beradi.
5-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz jadvalimizdagi fikrlarni qo'shdik, chunki bizda ular bor edi, lekin biz ularni har doim ham kiritmaymiz, chunki biz ko'pincha eskizning o'zi va harakat yo'nalishi bilan qiziqamiz.
Shuni ham yodda tutingki, biz grafikni \(t = 0\) va \(t = 3\) nuqtalaridan o'tmasligimiz juda muhimdir. Agar biz grafikni ushbu nuqtalardan o'tib uzatsak, grafik ulardan o'tib ketishini nazarda tutamiz va, albatta, bunday emas!