Agar biz "boshlanish" nuqtasi haqida tashvishlanmasak (i.e. egri chiziq \(t = 0\) da bo'lgan joyda) va biz harakat yo'nalishi haqida tashvishlanmaymiz, biz qaydlardan bilamizki, quyidagi parametrik tenglamalar to'plami yuqoridagi tenglamada berilgan ellipsni aniqlaydi.

\[\begin{align*}x & = 2\cos \left( t \right)\\ y & = 7\sin \left( t \right)\end{align*}\]

Ushbu parametrik tenglamalar to'plami bilan bog'liq muammo shundaki, \(t = 0\)da biz \(\left( {2,0} \right)\) nuqtasida bo'lamiz, bu biz bo'lishi kerak bo'lgan nuqta emas. Bundan tashqari, ushbu bo'limning eslatmalarida ishlangan misollar yoki ushbu bo'limdagi ba'zi oldingi muammolarga o'xshash tahlillar haqidagi bilimimizdan biz ushbu tenglamalar to'plami tomonidan aniqlangan parametrik egri chiziq soat miliga teskari aylanishda kuzatilishini ko'rishimiz mumkin - bu bizga kerak bo'lgan narsa emas.

Shunday qilib, biz talablarga javob beradigan boshqa parametrik tenglamalar to'plamini ishlab chiqishimiz kerak.

E'tirof etish kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, sinus va kosinusdan foydalanish har doim ellips uchun parametrik tenglamalar to'plamini olishning eng oson yo'li bo'ladi. Biroq, \(x\) tenglamasi uchun har doim kosinus va \(y\) tenglamasi uchun sinusdan foydalanishga hech qanday sabab yo'q.

\(t = 0\) qachon bizga \(x = 0\) va \(y = - 7\) kerakligini bilish va \(\sin \left( 0 \right) = 0\) va \(\cos \left( 0 \right) = 1\) quyidagi parametrik tenglamalar to‘plami \(t = 0\) qachon to‘g‘ri nuqtadan “boshlanishi”ni bilishimizdan foydalanib.

\[\begin{align*}x & = - 2\sin \left( t \right)\\ y & = - 7\cos \left( t \right)\end{align*}\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu ellipsni soat yo'nalishi bo'yicha kuzatib borishini tekshirish.

Agar biz \(t = 0\) dan boshlasak va \(t\) ni \(t = \frac{\pi }{2}\) ga yetguncha oshirsak, biz sinus 0 dan 1 gacha oshishini bilamiz. Bu o‘z navbatida \(x\) ning 0 dan -2 gacha kamayishi (\(x\) tenglamasidagi minus belgisini unutmang) degan ma’noni anglatadi.

Xuddi shunday, \(t\) ni \(t = 0\) dan \(t = \frac{\pi }{2}\) ga oshirish biz bilamizki, kosinus 1 dan 0 gacha kamayadi. Bu o‘z navbatida \(y\) ni (\(y\) tenglamasidagi minus belgisini unutmang!) -7 dan 0 ga oshirishini bildiradi.

Bu ikkala narsa bir vaqtning o'zida sodir bo'lishining yagona yo'li bu egri chiziq \(\left( {0, - 7} \right)\) da \(t = 0\) da boshlanishi va \(t = \frac{\pi }{2}\) bo'lganda \(\left( { - 2,0} \right)\) nuqtasiga etgunimizcha soat yo'nalishi bo'yicha ellips bo'ylab harakatlanishidir.

Biz \(t\) ni \(t = 2\pi \) ga yetguncha (bu bizni "boshlang'ich" nuqtaga qaytaradi) va ellips soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanishda davom etishiga o'zimizni ishontirishimiz mumkin.

Shuning uchun, biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan parametrik tenglamalar to'plami:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}x & = - 2\sin \left( t \right)\\ y & = - 7\cos \left( t \right)\end{align*}}\]

Biz bu muammoni javob haqida so'nggi eslatma bilan qoldiramiz. Bu biz berishi mumkin bo'lgan "eng oddiy" javob bo'lishi mumkin, ammo siz bu muammoga boshqacha javob bergan bo'lishingiz mumkin. Deyarli har doim turli xil parametrik tenglamalar to'plami mavjud bo'lib, ular ma'lum bir limitlar to'plamiga muvofiq ma'lum bir parametrik egri chiziqni kuzatadi.