9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
11.Zarraning yo'li quyidagi parametrik tenglamalar to'plami bilan berilgan. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlab bering. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlash uchun siz quyidagi ma'lumotlarni taqdim etishingiz kerak bo'ladi.
- Parametrni yo'q qilish orqali olingan tenglamaga asoslangan parametrik egri chiziqning (harakat yo'nalishini o'z ichiga olgan holda) eskizi.
- \(x\) va \(y\) limitlari.
- Parametrik egri chiziqning bir izi uchun \(t\) diapazoni.
- Agar muammoda \(t\) ning umumiy diapazoni taqdim etilsa, zarracha yaratadigan egri chiziq izlari soni.
Yechim
Ushbu muammoga to'liq javob berish uchun biz juda ko'p ma'lumotlarni topishimiz kerak. Biroq, ko'pchilik uchun biz ushbu bo'limdagi dastlabki bir nechta muammolar uchun ishlatgan qadamlarning bir xil asosiy tartibiga amal qilishimiz mumkin. Biroq, biz yo'lda biroz qo'shimcha ish qilishimiz kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, bu yerdagi ishlarning aksariyati biz ushbu bo'limning 4-6-masalalarida bajargan ishimizga o'xshash bo'lganligi sababli, biz bu erda qilayotgan ishlarning ko'piga unchalik ko'p izoh bermaymiz. Shunday qilib, agar sizga ba'zi ishlar uchun tushuntirish kerak bo'lsa, bu muammolarga qaytib, tegishli qadamlarni tekshirishingiz kerak.
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu maxsus parametrik tenglamalar to'plami uchun birinchi navbatda eksponensial funktsiya uchun \(x\) tenglamasini quyidagicha yechishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik:
\[{{\bf{e}}^{ - 3t}} = 2x\]Endi \({{\bf{e}}^{ - 6t}} = {\left( {{{\bf{e}}^{ - 3t}}} \right)^2}\) ni eslang va shuning uchun yuqoridagi tenglamani \(y\) tenglamasidagi eksponensialga ulashimiz mumkin,
\[\,y = {{\bf{e}}^{ - 6t}} + 2{{\bf{e}}^{ - 3t}} - 8 = {\left( {{{\bf{e}}^{ - 3t}}} \right)^2} + 2{{\bf{e}}^{ - 3t}} - 8 = {\left( {2x} \right)^2} + 2\left( {2x} \right) - 8 = 4{x^2} + 4x - 8\]Demak, parametrik egri chiziq bu kvadratik funktsiya grafigining bir qismi yoki hammasi bo'ladi.
2-qadam
Keling, \(x\) va \(y\) uchun chegaralar ustida ishlaylik. Bunday holda, oldingi muammolarning aksariyatidan farqli o'laroq, narsalar biroz boshqacha ishlaydi.
Keling, sinus va kosinus funksiyalaridan farqli o'laroq \({{\bf{e}}^{ - 3t}}\) har doim kamayuvchi funktsiya ekanligini bilamiz, chunki \(t\) ko'payadi (bu to'g'riligini tekshirish uchun siz men ishlaydigan tez hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkinmi?).
Nega biz bu haqda qayg'uramiz? Birinchidan, \(x\) tenglamasi \({{\bf{e}}^{ - 3t}}\) doimiy sonidir va shuning uchun \({{\bf{e}}^{ - 3t}}\) kamayuvchi funktsiya ekanligi \(x\) tenglamasi \(x = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\) ham kamayuvchi funktsiya ekanligini anglatadi (chunki koeffitsient ijobiy).
Keyinchalik, bu muammo uchun bizga \(t\) diapazoni berilmagan va shuning uchun biz \(t\) ning eng katta diapazonini qabul qilishimiz mumkin. Shuning uchun, biz \(t\) uchun \( - \infty < t < \infty \) diapazonini qabul qilishda xavfsizmiz.
Endi, biz yuqorida aytib o'tganimizdek, \(x\) tenglamasi kamayib borayotganini bilamiz va shuning uchun \(x\) ning eng katta qiymati diapazonning chap "oxirgi nuqtasida" paydo bo'ladi. Xuddi shunday, \(x\) ning eng kichik qiymati diapazonning o'ng "oxirgi nuqtasida" paydo bo'ladi. Ushbu muammo uchun bizning diapazonimizning ikkala "oxirgi nuqtalari" ham cheksizdir, shuning uchun biz avvalgi muammoda bo'lgani kabi shunchaki ulay olmaymiz. Biroq, biz quyidagi ikkita chegarani olishimiz mumkin.
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \,\, - \,\infty } \left( {\frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}} \right) = \infty \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{t \to \,\,\,\infty } \left( {\frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}} \right) = 0\]Bundan ko'rishimiz mumkinki, \(t\) diapazonining chap so'nggi nuqtasiga yaqinlashganimizda \(x\) qiymati cheksiz bo'ladi va \(t\) diapazonining o'ng oxirgi nuqtasiga yaqinlashganda \(x\) qiymati nolga teng bo'ladi. Shuni yodda tutingki, \(x\) hech qachon nolga teng bo'lolmaydi, chunki \(x\) hali ham eksponensial funktsiya (nol bo'lishi mumkin emas) nuqtai nazaridan aniqlangan. Barcha chegara bizga shuni aytadiki, biz \(t \to \infty \) ga ruxsat bersak, biz \(x \to 0\) ni olamiz.
Parametrik egri chizig'imiz uchun \(x\) diapazoni shuning uchun,
\[0 < x < \infty \]Shunga qaramay, bu erda tengsizliklar bilan ehtiyot bo'ling! Biz \(x\) na nol, na cheksiz bo'lishi mumkinligini bilamiz, shuning uchun biz ushbu diapazon uchun qat'iy tengsizliklardan foydalanishimiz kerak. Bu parametrik tenglamalarning o'zgaruvchan diapazonlari bilan biz doimo izlashimiz kerak bo'lgan narsadir. Parametrik tenglamalarga qarab, ba'zida diapazonlarning oxirgi nuqtalari qat'iy tengsizliklar bo'ladi (bu muammoda bo'lgani kabi) va boshqalar uchun ular oxirgi nuqtalarni (oldingi muammolarda bo'lgani kabi) o'z ichiga oladi.
\(y\) diapazoni uchun biz \(y\) ning to‘g‘ri diapazonini olish uchun biroz ish qilishimiz kerak bo‘ladi, lekin bu avvalgi muammolardagidek ortiqcha ish bo‘lmaydi va biz bu bosqichda hammasini qila olamiz. Keling, faqat grafikni chizamiz va biz nimani olganimizni ko'ramiz. Bu erda grafikning qisqacha eskizi.
Grafikning nuqtali qismi \(x\)-dagi haqiqiy cheklovdan qat'i nazar, \( - 2 \le t \le 2\) funksiyasining to'liq grafigi. Grafikning qattiq qismi bu bosqichda biz ilgari topilgan \(x\) chekloviga mos keladigan grafik qismidir.
Grafikning chap uchi uchun \(y\) o'qidagi "ochiq nuqta" ga e'tibor bering. Bu \(x \ne 0\) ekanligini tan olish uchun bu erda bo'lishi kerak. Shuningdek, biz ushbu nuqtada \(y\) qiymati \(y = - 8\) ekanligini ko'rishimiz mumkin va yana parametrik egri chiziq uchun bizda \(y \ne - 8\) borligini ko'rishimiz mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(x \to \infty \) ni bilamiz va shuning uchun ham grafikning \(y\) qismi \(x\) xatti-harakatiga mos kelishi uchun cheksizgacha davom etishi kerakligini ham bilamiz.
Shunday qilib, grafikning ushbu tezkor tahlilidan biz parametrik egri chiziq uchun \(y\) diapazoni bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin,
\[ - 8 < y < \infty \]3-qadam
Endi biz ushbu egri chiziq uchun harakat yo'nalishini qilishimiz kerak, ammo shuni yodda tutingki, biz avvalgi bosqichda harakat yo'nalishini topdik.
Oldingi bosqichda ta'kidlanganidek, biz \(x = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\) kamayuvchi funktsiya ekanligini bilamiz va shuning uchun \(t\) oshgani sayin \(x\) kamayishi kerak. Shuning uchun, egri chiziq chizilganda, tenglama o'ngdan chapga harakatlanishi kerak.
Shuni ham yodda tutingki, oldingi muammolarning aksariyatidan farqli o'laroq, biz bilamizki, grafikning hech bir qismi qayta ko'rib chiqilmaydi. Shunga qaramay, biz \(x\) tenglamasi kamayuvchi tenglama ekanligini bilamiz. Agar egri chiziq biron-bir qismni takrorlasa, biz buni qilishning yagona yo'li chapdan o'ngga orqaga qaytish ekanligini ko'rishimiz mumkin, bu esa \(x\) ni oshirishni talab qiladi va bu sodir bo'lmaydi.
Bu shuni anglatadiki, biz endi grafik aniq bir marta kuzatilishini bilamiz.
4-qadam
Endi barcha kerakli ma'lumotlarga ega bo'lganimizdan so'ng, biz grafikning rasmiy eskizini yaratishimiz mumkin.
Yuqoridagi grafikda bo'lgani kabi, grafikning nuqtali qismi \( - 2 \le t \le 2\) funksiyasining to'liq grafigi va grafikning qattiq qismi biz 2-bosqichda topilgan \(x\) va \(y\) limitlariga mos keladigan qismdir.
Bu yerda, shuningdek, muammo so'ragan qolgan barcha ma'lumotlarga rasmiy javoblar.
\[\begin{array}{lcc}{\mbox{Range of }}x{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & 0 < x < \infty \\ {\mbox{Range of }}y{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & - 8 < y < \infty \\ {\mbox{Range of }}t{\mbox{ for one trace : }} & \hspace{0.1in} & - \infty < t < \infty \\ {\mbox{Total number of traces : }} & \hspace{0.1in} & 1\end{array}\]