9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
10. Zarrachaning yo'li quyidagi parametrik tenglamalar to'plami bilan berilgan. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlab bering. Zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlash uchun siz quyidagi ma'lumotlarni taqdim etishingiz kerak bo'ladi.
- Parametrni yo'q qilish orqali olingan tenglamaga asoslangan parametrik egri chiziqning (harakat yo'nalishini o'z ichiga olgan holda) eskizi.
- \(x\) va \(y\) limitlari.
- Parametrik egri chiziqning bir izi uchun \(t\) diapazoni.
- Agar muammoda \(t\) ning umumiy diapazoni taqdim etilsa, zarracha yaratadigan egri chiziq izlari soni.
Yechim
Ushbu muammoga to'liq javob berish uchun biz juda ko'p ma'lumotlarni topishimiz kerak. Biroq, ko'pchilik uchun biz ushbu bo'limdagi dastlabki bir nechta muammolar uchun ishlatgan qadamlarning bir xil asosiy tartibiga amal qilishimiz mumkin. Biroq, biz yo'lda biroz qo'shimcha ish qilishimiz kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, bu yerdagi ishlarning aksariyati biz ushbu bo'limning 4-6-masalalarida bajargan ishimizga o'xshash bo'lganligi sababli, biz bu erda qilayotgan ishlarning ko'piga unchalik ko'p izoh bermaymiz. Shunday qilib, agar sizga ba'zi ishlar uchun tushuntirish kerak bo'lsa, bu muammolarga qaytib, tegishli qadamlarni tekshirishingiz kerak.
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu maxsus parametrik tenglamalar to'plami uchun birinchi navbatda eksponensial funktsiya uchun \(x\) tenglamasini quyidagicha yechishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik:
\[{{\bf{e}}^t} = \frac{1}{2}x\]Endi \({{\bf{e}}^{3t}} = {\left( {{{\bf{e}}^t}} \right)^3}\) ni eslang va shuning uchun yuqoridagi tenglamani \(y\) tenglamasidagi eksponensialga ulashimiz mumkin,
\[y = \cos \left( {1 + {{\bf{e}}^{3t}}} \right) = \cos \left( {1 + {{\left( {{{\bf{e}}^t}} \right)}^3}} \right) = \cos \left( {1 + {{\left( {\frac{1}{2}x} \right)}^3}} \right) = \cos \left( {1 + \frac{1}{8}{x^3}} \right)\]Demak, parametrik egri chiziq bu kosinus funksiyasining grafigining bir qismi yoki hammasi bo‘ladi.
2-qadam
Keling, \(x\) va \(y\) uchun chegaralar ustida ishlaylik. Bunday holda, oldingi muammolarning aksariyatidan farqli o'laroq, narsalar biroz boshqacha ishlaydi.
Keling, sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, biz \({{\bf{e}}^t}\) har doim ortib boruvchi funksiya ekanligini bilamiz (buni tekshirish uchun siz men ishlaydigan tez hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkinmi?).
Nega biz bu haqda qayg'uramiz? Avvaliga \(x\) tenglamasi faqat doimiy \({{\bf{e}}^t}\) vaqtidir va bizga muammo uchun \(t\) diapazoni berilgan. Keyinchalik, \({{\bf{e}}^t}\) ortib boruvchi funksiya ekanligi \(x\) tenglamasi \(x = 2{{\bf{e}}^t}\) ham ortib boruvchi funksiya ekanligini bildiradi (chunki 2 musbat). Shunday qilib, \(x\) ning eng kichik qiymati \(t\) diapazonida \(t\) ning eng kichik qiymatida paydo bo'ladi. Xuddi shunday, ning eng katta qiymati \[x\] \(t\) diapazonida \(t\) ning eng katta qiymatida sodir bo'ladi.
Shuning uchun, parametrik egri chizig'imiz uchun \(x\) diapazoni,
\[2{{\bf{e}}^0} \le x \le 2{{\bf{e}}^{\frac{3}{4}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}2 \le x \le 2{{\bf{e}}^{\frac{3}{4}}}\]Oldingi muammolardan farqli o'laroq, biz odatda biroz ko'proq tekshirish ishlarini bajarishimiz kerak edi, biz hozir bilamizki, bu \(x\) diapazoni.
\(y\) diapazoni uchun biz \(y\) ning to‘g‘ri diapazonini olish uchun biroz ish qilishimiz kerak bo‘ladi, lekin bu avvalgi muammolardagidek ortiqcha ish bo‘lmaydi va biz bu bosqichda hammasini qila olamiz. Avval shuni ta'kidlaymizki, \(y\) tenglamasi \(y = \cos \left( \cdots \right)\) ko'rinishida. Kosinus argumenti ishning birinchi qismi uchun muhim emas va shuning uchun bu erga kiritilmagan.
Kosinusning xatti-harakatlaridan biz \(y\) ning mumkin bo'lgan eng katta diapazoni o'shanda shunday bo'lishini bilamiz:
\[ - 1 \le y \le 1\]Endi, \(y\) tenglamasidagi kosinus argumenti \(t\) ning berilgan diapazonini qanday qiymatlarga ega bo'lishiga qarab, biz ushbu qiymatlarning to'liq diapazonini qamrab olishimiz yoki yo'q bo'lishimiz mumkin. Biz kosinus argumentini tahlil qilib, u ushbu to'liq diapazonni qamrab oladimi yoki yo'qligini aniqlash uchun biroz ish qilishimiz mumkin. Biroq, agar bu holatda to'liq assortiment qamrab olingan bo'lsa, buni aniqlashning juda oson usuli bor.
Keling, faqat grafikni chizamiz va biz nimani olganimizni ko'ramiz. Bu erda grafikning qisqacha eskizi.
Kosinus argumentining "tartibsiz" xususiyatini hisobga olgan holda, grafikni olish uchun hisoblash yordamining qandaydir shakllaridan foydalanish yaxshidir. Grafikning nuqtali qismi \(t\)-dagi haqiqiy cheklovdan qat'i nazar, \( - 3 \le x \le 5\) funksiyasining to'liq grafigi. Grafikning qattiq qismi bu masalada bizga berilgan \(t\) diapazoniga mos keladigan qismdir.
Ushbu grafikdan biz \(y\) diapazoni aslida \( - 1 \le y \le 1\) ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Harakat yo'nalishini davom ettirishdan oldin, shuni ta'kidlaymizki, biz ushbu bosqichdagi ish haqiqiy diapazon yoki yo'qligini aniqlash uchun oldingi muammolarning ko'pidagi egri chiziqni ham ko'rsatishimiz mumkin edi. Biz buni qilmadik, chunki biz \(t\) ning harakat yo‘nalishini va diapazonini bitta iz tahlili uchun qilganimizda (baribir buni qilishimiz kerak edi) bu diapazonlar to‘g‘ri yoki yo‘qligini aniqlashimiz mumkin edi va shuning uchun bu muammolar uchun bu bosqichda grafik bilan bezovtalanishning hojati yo‘q edi.
3-qadam
Endi biz ushbu egri chiziq uchun harakat yo'nalishini qilishimiz kerak, ammo shuni yodda tutingki, biz avvalgi bosqichda harakat yo'nalishini topdik.
Oldingi bosqichda ta'kidlanganidek, biz \(x = 2{{\bf{e}}^t}\) ortib borayotgan funktsiya ekanligini bilamiz va shuning uchun \(t\) oshgani sayin \(x\) ko'payishi kerak. Shuning uchun, tenglama chapdan o'ngga siljishi kerak, chunki egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida kuzatilgan.
Shuni ham yodda tutingki, oldingi muammolardan farqli o'laroq, biz bilamizki, grafikning hech bir qismi qayta ko'rib chiqilmaydi. Yana \(x\) tenglamasi ortib boruvchi tenglama ekanligini bilamiz. Agar egri chiziq biron-bir qismni qaytarsa, biz buni qilishning yagona yo'li o'ngdan chapga orqaga qaytish ekanligini ko'rishimiz mumkin, bu esa \(x\) ning pasayishini talab qiladi va bu sodir bo'lmaydi.
Bu shuni anglatadiki, endi biz grafik ma'lum bir \(t\) diapazoni uchun aniq bir marta aniqlanishini bilamiz, bu esa o'z navbatida ma'lum bir \(t\) diapazoni ham bitta iz uchun \(t\) diapazoni ekanligini bildiradi.
4-qadam
Endi barcha kerakli ma'lumotlarga ega bo'lganimizdan so'ng, biz grafikning rasmiy eskizini yaratishimiz mumkin.
Yuqoridagi grafikda bo'lgani kabi, grafikning nuqtali qismi \(t\)-dagi haqiqiy cheklovdan qat'i nazar, \( - 3 \le t \le 5\)-dagi funktsiyaning to'liq grafigidir. Grafikning qattiq qismi bu masalada bizga berilgan \(t\) diapazoniga mos keladigan qismdir. Biz, shuningdek, aniqlik uchun \(t\) qiymatini va har bir so'nggi nuqtaning koordinatalarini kiritdik, ammo ular ko'p muammolar uchun talab qilinmaydi.
Bu yerda, shuningdek, muammo so'ragan qolgan barcha ma'lumotlarga rasmiy javoblar.
\[\begin{array}{lcc}{\mbox{Range of }}x{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & 2 \le x \le 2{{\bf{e}}^{\frac{3}{4}}}\\ {\mbox{Range of }}y{\mbox{ :}} & \hspace{0.1in} & - 1 \le y \le 1\\ {\mbox{Range of }}t{\mbox{ for one trace : }} & \hspace{0.1in}& 0 \le t \le \frac{3}{4}\,\,\\ {\mbox{Total number of traces : }} & \hspace{0.1in} & 1\end{array}\]