9.1-bo'lim : Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
1. Quyidagi parametrik tenglamalar to‘plami uchun parametrni olib tashlang, parametrik egri chiziqning grafigini chizing va \(x\) va \(y\) da mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan chegaralarni keltiring.
\[x = 4 - 2t\hspace{0.5in}y = 3 + 6t - 4{t^2}\]Yechim
Birinchidan, biz ushbu parametrik tenglamalar to'plamidan parametrni olib tashlaymiz. Ushbu parametrik tenglamalar to'plami uchun biz buni \(t\) uchun \(x\) tenglamasini yechish va uni \(y\) tenglamasiga ulash orqali amalga oshirishimiz mumkin.
Bu shuni beradi (barcha algebra bitlarini tekshirishni sizga qoldiramiz ...),
\[t = \frac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\hspace{0.5in}\,\, \to \hspace{0.5in}\,\,\,y = 3 + 6\left[ {\frac{1}{2}\left( {4 - x} \right)} \right] - 4{\left[ {\frac{1}{2}\left( {4 - x} \right)} \right]^2} = - {x^2} + 5x - 1\]2-qadam
OK, bundan bizda pastga ochiladigan parabola borga o'xshaydi. Buning grafigini chizish uchun bizga \(x\)-kesishmalar, \(y\)-kesishmalar va eng muhimi cho'qqi kerak bo'ladi.
Belgilangan maqsadlar uchun \(f\left( x \right) = - {x^2} + 5x - 1\) ni aniqlaymiz.
\(x\)-kesishmalar \(f\left( x \right) = 0\) ni yechish orqali topiladi. Shunday qilib,
\[ - {x^2} + 5x - 1 = 0\hspace{0.5in}\,\,\,\, \to \hspace{0.5in}\,\,\,x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{{\left( 5 \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)} }}{{2\left( { - 1} \right)}} = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2} = 0.2087,\,\,\,4.7913\]\(y\)-kesishmasi: \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) = \left( {0, - 1} \right)\).
Nihoyat, cho'qqi,
\[\left( { - \frac{b}{{2a}},f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{{2\left( { - 1} \right)}},f\left( {\frac{5}{2}} \right)} \right) = \left( {\frac{5}{2},\frac{{21}}{4}} \right)\]3-qadam
Parametrik egri chiziqning grafigini chizishdan oldin barcha parametrik egri chiziqlar harakat yo'nalishiga ega ekanligini esga olamiz. i.e. parametrning ortib borayotgan qiymatlarini ko'rsatadigan yo'nalish, bu holda \(t\).
Egri chiziq uchun harakat yo'nalishini olishning bir necha yo'li mavjud. Ulardan biri, harakat yo'nalishini aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ba'zi nuqtalarni olish uchun \(t\) qiymatlarini parametrik tenglamalarga qo'shishdir.
Mana bu parametrik tenglamalar to'plami uchun qiymatlar jadvali.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| -1 | 6 | -7 |
| 0 | 4 | 3 |
| \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{5}{2}\) | \(\frac{{21}}{4}\) |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 0 | -1 |
| 3 | -2 | -15 |
E'tibor bering, \(t = \frac{3}{4}\) parabolaning uchini beruvchi \(t\) qiymati bo'lib, \(t\) ning aniq qiymati emas! Aslida, bu grafikni chizish uchun faqat \(t\) qiymatlaridan foydalanish parametrik egri chizmani olishning yomon usuli ekanligiga yaxshi misoldir. Foydalanish uchun yaxshi \(t\) to'plamini aniqlash juda qiyin.
Ushbu jadval uchun biz birinchi navbatda cho'qqining koordinatalarini bilganimizdan foydalanib, \(t\) cho'qqisini topdik (bu misol uchun \(x\) koordinatasi muhim edi), quyidagicha:
\[x = \frac{5}{2}\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\frac{5}{2} = 4 - 2t\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}\,\,t = \frac{3}{4}\]\(t\) ning ushbu qiymati topilgandan so'ng, biz eskizimiz uchun \(t\) ni yaxshi ko'rsatish uchun ikkala tomonga \(t\) ning bir nechta qiymatlarini tanladik.
E'tibor bering, bu holatda biz \(x\)-koordinatalarini cho'qqiga mos keladigan \(t\) qiymatini topish uchun ishlatdik, chunki bu tenglama chiziqli tenglama edi va \(t\) uchun faqat bitta yechim bo'ladi. Agar biz \(y\)-koordinatasini ishlatganimizda, ikkita \(t\)ga olib keladigan kvadratikni (albatta qilish qiyin emas) yechishimiz kerak edi. Muammo shundaki, faqat bitta \(t\) bu muammoning cho'qqisini beradi va shuning uchun biz to'g'risini aniqlash uchun ularni \(x\) tenglamasida tekshirishimiz kerak. Shunday qilib, bu holda biz boshidanoq \(x\) tenglamasidan foydalanishimiz mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, harakat yo'nalishini aniqlashning osonroq yo'li (ehtimol - bu sizga bog'liq bo'ladi). \(x\) tenglamasini tezda ko'rib chiqing.
\[x = 4 - 2t\]\(t\) oldidagi minus belgisi tufayli biz \(t\) ortishi bilan \(x\) kamayishi kerakligini ko'rishimiz mumkin (agar xohlasak, biz tez hosilaviy/hisob I tahlili bilan tekshirishimiz mumkin). Bu shuni anglatadiki, grafik o'ngdan chapga qarab chizilgan bo'lishi kerak, chunki jadvaldagi yuqoridagi qiymatlar jadvali ham ko'rsatadi.
Parametrik tenglamalardan birini yoki har ikkalasini tez hisoblash tahlilidan foydalanish parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini aniqlashning eng yaxshi va oson usuli hisoblanadi. "Oddiy" parametrik tenglamalar uchun biz ko'pincha parametrik tenglamalarga tez qarash asosida yo'nalishni olishimiz mumkin va bu jadval uchun \(t\) ning "yaxshi" qiymatlarini tanlashdan qochadi.
4-qadam
Ushbu nuqtada biz grafikni chizishimiz mumkin, lekin avval \(x\) va \(y\) uchun mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday limitlarni bilib olaylik.
Chunki bizda pastga qarab ochiladigan parabola bor va biz \(t\)-ni hech qanday tarzda cheklamaganmiz, biz butun parabolani olishimizni bilamiz. Bu, o'z navbatida, bizda \(x\)da hech qanday limitlar bo'lmaydi, lekin \(y\) \(y \le \frac{{21}}{4}\)ni qondirishi kerak (cho'qqining \(y\) koordinatasini eslaysizmi?).
Shunday qilib, rasmiy ravishda bu erda \(x\) va \(y\) limitlari mavjud.
\[ - \infty < x < \infty \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y \le \frac{{21}}{4}\]E'tibor bering, \(x\) va \(y\) limitlariga ega bo'lish ko'pincha haqiqiy grafik bosqichda yordam beradi, shuning uchun ularni grafikni chizishdan oldin olish yaxshidir. Bunday holda, ular haqiqatan ham yordam bermaydi, chunki biz parabola grafigini ushbu limitlarsiz chizishimiz mumkin, lekin bu juda yaxshi odat bo'lib, biz ularni birinchi bo'lib bajardik.
5-qadam
Va nihoyat, bu parametrik tenglamalar to'plami uchun parametrik egri chiziqning eskizi.
Ushbu eskiz uchun biz jadvalimizdagi fikrlarni qo'shdik, chunki bizda ular bor edi, lekin biz ularni har doim ham kiritmaymiz, chunki biz ko'pincha eskizning o'zi va harakat yo'nalishi bilan qiziqamiz.