7.1-bo'lim : Qismlar bo'yicha integratsiya
6. \( \displaystyle \int_{0}^{\pi }{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}}\) ni baholang.
Shuni ham unutmangki, integral chegaralari \(u\) va \(dv\) tanlovlariga ta'sir qilmaydi.
Yechim
Bu erda birinchi qadam \(u\) va \(dv\) ni tanlashdir. Biz \(u\) va \(dv\) ni tanlamoqchimiz, shunda biz \(du\) va \(v\) ni hisoblab, hamma narsani Qismlar bo‘yicha integratsiya formulasiga ulaganimizda, biz oladigan yangi integral biz qila oladigan yoki hech bo‘lmaganda integral bo‘lib qoladi, uni hal qilish osonroq bo‘ladi.
Buni hisobga olsak, \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi tanlovlar biz uchun ishlashi kerak.
\[u = {x^2}\hspace{0.5in}dv = \cos \left( {4x} \right)\,dx\]2-qadam
Keyinchalik, \(du\) (\(u\)ni farqlash orqali) va \(v\) (\(dv\) ni birlashtirish orqali) hisoblashimiz kerak.
\[\begin{align*}u & = {x^2} & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = 2x\,dx\\ dv & = \cos \left( {4x} \right)\,dx & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = \frac{1}{4}\sin \left( {4x} \right)\end{align*}\]3-qadam
Biz integralni bajarayotgandek chegaralar bilan shug'ullanishimiz mumkin yoki shunchaki noaniq integralni bajarishimiz mumkin va keyin oxirgi bosqichda chegaralar haqida g'amxo'rlik qilishimiz mumkin. Biz ushbu muammoning chegaralarini hal qilishning keyingi usulidan foydalanamiz.
Shunday qilib, \(u\), \(du\), \(v\) va \(dv\) ni Qismlar bo'yicha integratsiya formulasiga ulash quyidagini beradi:
\[ \int{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}} = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{2}\int{{x\sin \left( {4x} \right)\,dx}}\]4-qadam
Endi, yangi integral hali ham biz faqat Calculus I texnikasi bilan qila oladigan integral emas. Biroq, biz qismlar bo'yicha boshqa integratsiyani amalga oshirishimiz mumkin bo'lgan narsa va \(x\)-ning quvvati bir marta kamayganligi sababli biz to'g'ri yo'nalishda ketyapmiz.
Shunday qilib, yangi integral uchun \(u\) va \(dv\) uchun tanlovlar.
\[\begin{align*}u & = x & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = dx\\ dv & = \sin \left( {4x} \right)\,dx & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = - \frac{1}{4}\cos \left( {4x} \right)\end{align*}\]5-qadam
OK, hozir qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(u\) va \(dv\) ning yangi tanlovlarini 3-bosqichda olingan yangi integralga ulash va integralni baholash.
\[\begin{align*}\int{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}} & = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{4}x\cos \left( {4x} \right) + \frac{1}{4}\int{{\cos \left( {4x} \right)\,dx}}} \right]\\ & = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{4}x\cos \left( {4x} \right) + \frac{1}{{16}}\sin \left( {4x} \right)} \right] + c\\ & = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) + \frac{1}{8}x\cos \left( {4x} \right) - \frac{1}{{32}}\sin \left( {4x} \right) + c\end{align*}\]6-qadam
Yakuniy qadam - bu chegaralar haqida g'amxo'rlik qilish.
\[ \int_{0}^{\pi }{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}} = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) + \frac{1}{8}x\cos \left( {4x} \right) - \frac{1}{{32}}\sin \left( {4x} \right)} \right)} \right|_0^\pi = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{8}\pi }}\]