7.1-bo'lim : Qismlar bo'yicha integratsiya
2. \( \displaystyle \int_{6}^{0}{{\left( {2 + 5x} \right){{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\,dx}}\) ni baholang.
Shuni ham unutmangki, integral chegaralari \(u\) va \(dv\) tanlovlariga ta'sir qilmaydi.
Yechim
Bu erda birinchi qadam \(u\) va \(dv\) ni tanlashdir. Biz \(u\) va \(dv\) ni tanlamoqchimiz, shunda biz \(du\) va \(v\) ni hisoblab, hamma narsani Qismlar bo‘yicha integratsiya formulasiga ulaganimizda, biz oladigan yangi integral biz qila oladigan integral bo‘ladi.
Buni hisobga olsak, \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi tanlovlar biz uchun ishlashi kerak.
\[u = 2 + 5x\hspace{0.5in}dv = {{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\,dx\]2-qadam
Keyinchalik, \(du\) (\(u\)ni farqlash orqali) va \(v\) (\(dv\) ni birlashtirish orqali) hisoblashimiz kerak.
\[\begin{align*}u & = 2 + 5x & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = 5dx\\ dv & = {{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\,dx & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = 3{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\end{align*}\]3-qadam
Biz integralni bajarayotgandek chegaralar bilan shug'ullanishimiz mumkin yoki shunchaki noaniq integralni bajarishimiz mumkin va keyin oxirgi bosqichda chegaralar haqida g'amxo'rlik qilishimiz mumkin. Biz ushbu muammoning chegaralarini hal qilishning keyingi usulidan foydalanamiz.
Shunday qilib, \(u\), \(du\), \(v\) va \(dv\) ni qismlarga ko'ra integratsiyaga ulash formulasini beradi:
\[ \int{{\left( {2 + 5x} \right){{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}}} = \left( {2 + 5x} \right)\left( {3{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}} \right) - \int{{5\left( {3{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}} \right)\,dx}} = 3{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\left( {2 + 5x} \right) - 15\int{{{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\,dx}}\]4-qadam
OK, biz olgan yangi integral osonlik bilan bajariladi, shuning uchun uni olish uchun baholaymiz,
\[ \int{{\left( {2 + 5x} \right){{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}}} = 3{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\left( {2 + 5x} \right) - 45{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}} + c = 15x{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}} - 39{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}} + c\]5-qadam
Yakuniy qadam - bu chegaralar haqida g'amxo'rlik qilish.
\[ \int_{6}^{0}{{\left( {2 + 5x} \right){{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}\,dx}} = \left. {\left( {15x{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}} - 39{{\bf{e}}^{\frac{1}{3}x}}} \right)} \right|_6^0 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 39 - 51{{\bf{e}}^2} = - 415.8419}}\]Pastki chegara yuqori chegaradan kattaroq ekanligidan hayajonlanmang. Bu ba'zan sodir bo'lishi mumkin va hech qanday tarzda integralning qanday baholanishiga ta'sir qilmaydi.