7.2-bo'lim : Trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallar
6. \( \displaystyle \int{{{{\tan }^3}\left( {6x} \right){{\sec }^{10}}\left( {6x} \right)\,dx}}\) ni baholang.
Yechim
Bu erda e'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, tangensdagi ko'rsatkich g'alati va bizda muammolarda sekant bor va shuning uchun biz ularning har birini ajratib olishimiz mumkin.
\[ \int{{{{\tan }^3}\left( {6x} \right){{\sec }^{10}}\left( {6x} \right)\,dx}} = \int{{{{\tan }^2}\left( {6x} \right){{\sec }^9}\left( {6x} \right)\,\,\,\tan \left( {6x} \right)\sec \left( {6x} \right)\,dx}}\]2-qadam
Endi qolgan tangenslarni sekantlarga aylantirish uchun \({\tan ^2}\theta + 1 = {\sec ^2}\theta \) trig identifikatoridan foydalanishimiz mumkin.
\[ \int{{{{\tan }^3}\left( {6x} \right){{\sec }^{10}}\left( {6x} \right)\,dx}} = \int{{\left[ {{{\sec }^2}\left( {6x} \right) - 1} \right]{{\sec }^9}\left( {6x} \right)\,\,\,\tan \left( {6x} \right)\sec \left( {6x} \right)\,dx}}\]E'tibor bering, sekantdagi ko'rsatkich teng bo'lgani uchun biz ulardan ikkitasini ajratib olib, qolganlarini tangenslarga aylantirgan bo'lardik. Biroq, bu konvertatsiya jarayoni biz tanlagan yo'ldan ko'ra ko'proq ish bo'lar edi.
3-qadam
Endi biz integralni baholash uchun \(u = \sec \left( {6x} \right)\) almashtirishdan foydalanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\int{{{{\tan }^3}\left( {6x} \right){{\sec }^{10}}\left( {6x} \right)\,dx}} & = \frac{1}{6}\int{{\left[ {{u^2} - 1} \right]{u^9}\,du}}\\ & = \frac{1}{6}\int{{{u^{11}} - {u^9}\,du}} = \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{{12}}{u^{12}} - \frac{1}{{10}}{u^{10}}} \right) + c\end{align*}\]E'tibor bering, biz bu erda haqiqiy almashtirish ishlarini qilmaymiz. Shu nuqtada, agar kerak bo'lsa, tafsilotlarni to'ldirish uchun almashtirishni yaxshi eslaysiz deb taxmin qilinadi. Agar siz almashtirishda zanglagan bo'lsangiz, ehtimol hisob-kitoblar bo'yicha muammolarga qaytishingiz va almashtirishlar bo'yicha mashq qilishingiz kerak.
4-qadam
\(u\) o'rniga qayta kirishni unutmang!
\[ \int{{{{\tan }^3}\left( {6x} \right){{\sec }^{10}}\left( {6x} \right)\,dx}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{{72}}{{\sec }^{12}}\left( {6x} \right) - \frac{1}{{60}}{{\sec }^{10}}\left( {6x} \right) + c}}\]