7.2-bo'lim : Trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallar
10. \( \displaystyle \int{{\cot \left( {10z} \right){{\csc }^4}\left( {10z} \right)\,dz}}\) ni baholang.
Yechim
Haqiqiy funktsiyalardagi aniq farqdan tashqari, bu muammo va tangens va sekantlarga ega bo'lgan muammo qanday ishlashida amaliy farq yo'q. Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, agar u tangentlar va sekantlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, bu qanday ishlaydi va biz bu borada ham ishlay olamiz.
Bu erda birinchi navbatda shuni ko'rishimiz mumkinki, kotangentdagi ko'rsatkich g'alati va bizda muammolarda kosekant bor va shuning uchun biz (faqat) kotangentni va sekantlardan birini ajratib olishimiz mumkin.
\[ \int{{\cot \left( {10z} \right){{\csc }^4}\left( {10z} \right)\,dz}} = \int{{{{\csc }^3}\left( {10z} \right)\,\,\,\,\cot \left( {10z} \right)\csc \left( {10z} \right)\,dz}}\]2-qadam
Qolgan kotangentlarni kosekantlarga aylantirish uchun odatda biz \({\cot ^2}\theta + 1 = {\csc ^2}\theta \) trig identifikatoridan foydalanardik. Biroq, bu holatda konvertatsiya qilish uchun qolgan kotangentlar yo'q va shuning uchun bu nuqtada integralni baholash uchun \(u = \csc \left( {10z} \right)\) o'rnini bosishdan boshqa hech narsa qilish mumkin emas.
\[ \int{{\cot \left( {10z} \right){{\csc }^4}\left( {10z} \right)\,dz}} = - \frac{1}{{10}}\int{{{u^3}\,du}} = - \frac{1}{{40}}{u^4} + c\]E'tibor bering, biz bu erda haqiqiy almashtirish ishlarini qilmaymiz. Shu nuqtada, agar kerak bo'lsa, tafsilotlarni to'ldirish uchun almashtirishni yaxshi eslaysiz deb taxmin qilinadi. Agar siz almashtirishda zanglagan bo'lsangiz, ehtimol hisob-kitoblar bo'yicha muammolarga qaytishingiz va almashtirishlar bo'yicha mashq qilishingiz kerak.
3-qadam
\(u\) o'rniga qayta kirishni unutmang!
\[ \int{{\cot \left( {10z} \right){{\csc }^4}\left( {10z} \right)\,dz}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{1}{{40}}{{\csc }^4}\left( {10z} \right) + c}}\]