7.9-bo'lim : Noto'g'ri integrallar uchun taqqoslash testi
5. Taqqoslash testidan foydalanib, quyidagi integral yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi.
\[\int_{6}^{\infty }{{\frac{{{w^2} + 1}}{{{w^3}\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}}\,dw}}\]Yechim
Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, biz integral yaqinlashadimi yoki ajralib chiqadimi, deb taxmin qilishdir.
Bu funksiyaning numeratori ko'phaddir va biz bilamizki, \(w \to \infty \) sifatida ko'phadlarning harakati \(w\) ning eng katta kuchining harakati bilan bir xil bo‘ladi. Shuningdek, maxrajdagi kosinus atamasi chegaralangan va hech qachon juda katta yoki kichik bo'lmaydi.
Shuning uchun, bu integral o'zini tutishi kerak kabi ko'rinadi:
\[\int_{6}^{\infty }{{\frac{{{w^2}}}{{{w^3}}}\,dw}} = \int_{6}^{\infty }{{\frac{1}{w}\,dw}}\]Keyin, tomonidan haqiqat oldingi bo'limdan ma'lumki, bu integral \(p = 1 \le 1\) dan beri ajralib chiqadi.
Shuning uchun biz taxmin qilishimiz mumkinki, integral,
\[\int_{6}^{\infty }{{\frac{{{w^2} + 1}}{{{w^3}\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}}\,dw}}\]ajralib chiqadi.
Shu paytdan boshlab ehtiyot bo'ling! Bu vaqtda ko'pchilik talabalar qiladigan eng katta xatolardan biri bu integral ayirmalarni taxmin qilganimiz sababli, biz endi bilamizki, bu farqlanadi va biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa shu va ular keyingi masalaga o'tishadi.
Talabalar bu yerda tez-tez yo‘l qo‘yadigan yana bir xato shundan iboratki, biz integral ayirmalarini taxmin qilganimiz uchun, ular bajargan ishi to‘g‘ri bo‘lmasa ham, masaladagi ishning qolgan qismi bu taxminni qo‘llab-quvvatlashiga ishonch hosil qilishadi.
Biz qilgan barcha narsa taxmin qilishdir. Endi kerak isbotlash bizning taxminimiz to'g'ri edi. Buni davom ettirish ahmoqona tuyulishi mumkin, lekin shuni yodda tutingki, bu darajada siz ishlayotgan muammolar juda oddiy bo'ladi (hatto ular har doim ham shunday ko'rinmasa ham). Bu shuni anglatadiki, ko'pincha (yoki hech bo'lmaganda tez-tez bunday muammolarga duch kelganingizdan so'ng) integralning yaqinlashishi yoki ajralishi aniq bo'ladi.
Boshqa bo'limlarda/ilovalarda bunday muammolar yuzaga kelganda, bizning taxminimiz to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligi har doim ham aniq bo'lmasligi mumkin va bu taxminni isbotlash uchun haqiqiy ishni talab qilishi mumkin. Shunday qilib, biz taxminni isbotlash uchun ishni haqiqatda bajarishga odatlangan bo'lishimiz kerak, shuning uchun kerak bo'lganda buni qila olamiz.
Bu muammolarning qiyin qismi ko'pincha taxmin qilish emas, balki taxminni isbotlashdir! Shunday qilib, muammoni davom ettiramiz.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, biz taqqoslash testi uchun kattaroq yoki kichikroq funktsiyani xohlaymizmi yoki yo'qligini aniqlashga yordam berish uchun ushbu bo'limning eslatmalarida maydon analogiyasidan foydalanganmiz.
Biz integral ajralishini isbotlamoqchimiz, shuning uchun biz bilgan kichikroq funktsiyani topsak, maydon analogiyasi kichikroq funktsiya ostida cheksiz miqdordagi maydon bo'lishini aytadi.
Kattaroq bo'lgan bizning funktsiyamiz uning ostida cheksiz miqdordagi maydonga ega bo'ladi. Cheksiz miqdordagi maydonni qamrab oladigan cheklangan miqdordagi maydonga ega bo'lishning iloji yo'q!
E'tibor bering, qarama-qarshi vaziyat bizga foyda keltirmaydi. Agar biz ajralib turadigan kattaroq funktsiyani topsak (shuning uchun uning ostida cheksiz miqdordagi maydon bo'ladi), bizning funktsiyamiz (hozir kichikroq) cheklangan miqdordagi maydonga yoki uning ostida cheksiz maydonga ega bo'lishi mumkin.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz farq qiladigan kattaroq funktsiyani topsak, bu bizning funktsiyamiz haqida hech narsa aytmaydi. Ammo, agar biz farqlashini biladigan kichikroq funktsiyani topsak, bu bizning funktsiyamizni ham ajratishga majbur qiladi.
Shuning uchun biz ajralib chiqadigan kichikroq funktsiyani topishimiz kerak.
3-qadam
Xo'sh, endi biz bir-biridan farq qiladigan kichikroq funktsiyani topishimiz kerakligini bilamiz.
Demak, funksiyani integraldan boshlaylik. Bu kasr va biz bilamizki, hisobni kichikroq yoki maxrajni kattaroq qilish orqali kasrni kichikroq qilishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, \(w > 6\) uchun (biz buni integral chegaralaridan taxmin qilishimiz mumkin) bizda,
\[{w^2} + 1 > {w^2}\]Shuning uchun bizda,
\[\frac{{{w^2} + 1}}{{{w^3}\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}} > \frac{{{w^2}}}{{{w^3}\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}} = \frac{1}{{w\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}}\]chunki biz suratni kichikroq deb bilgan narsa bilan almashtirdik.
4-qadam
Aynan shu vaqtda talabalar yana ko'pincha bunday muammo bilan xato qilishadi. Surat yoki maxraj bilan bitta manipulyatsiyani amalga oshirgandan so'ng, ular manipulyatsiyani to'xtatadilar va yangi funktsiya ajralib chiqishi kerakligini e'lon qiladilar (chunki biz buni xohlaymiz) va keyingi masalaga o'tishadi.
Shunga qaramay, biz buni qilishimiz kerakligini eslaylik bilish yangi funksiya ajraladi va biz farqlanishini biladigan funktsiyaga hali erisha olmadik. Biz ajralishlarini biladigan funktsiyaga o'tish uchun biz funktsiyani yana bir marta manipulyatsiya qilishimiz kerak.
Ushbu qadam uchun biz \(0 \le {\cos ^2}\left( w \right) \le 1\) ekanligini bilamiz va bizda shunday bo'ladi:
\[{\cos ^2}\left( w \right) + 1 < 1 + 1 = 2\]Shuning uchun bizda,
\[\frac{1}{{w\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}} > \frac{1}{{w\left( 2 \right)}} = \frac{1}{{2w}}\]chunki biz maxrajni kattaroq deb bilgan narsa bilan almashtirdik.
5-qadam
Nihoyat, 3 va 4-bosqichlarning natijalarini birlashtirib, bizda,
\[\frac{{{w^2} + 1}}{{{w^3}\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}} > \frac{1}{{2w}}\]va biz buni bilamiz,
\[\int_{6}^{\infty }{{\frac{1}{{2w}}\,dw}} = \frac{1}{2}\int_{6}^{\infty }{{\frac{1}{w}\,dw}}\]farqlanadi. Keyin ushbu integraldagi funktsiya asl integraldagi funktsiyadan kichikroq bo'lganligi sababli, taqqoslash testi bizga shuni aytadi:
\[\int_{6}^{\infty }{{\frac{{{w^2} + 1}}{{{w^3}\left( {{{\cos }^2}\left( w \right) + 1} \right)}}\,dw}}\]ham kerak ajralish.