7.9-bo'lim : Noto'g'ri integrallar uchun taqqoslash testi
4. Taqqoslash testidan foydalanib, quyidagi integral yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi.
\[\int_{1}^{\infty }{{\frac{{z - 1}}{{{z^4} + 2{z^2}}}\,dz}}\]Yechim
Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, biz integral yaqinlashadimi yoki ajralib chiqadimi, deb taxmin qilishdir.
Bu funksiyaning payi ham, maxraji ham ko'phaddir va biz bilamizki, \(z \to \infty \) sifatida har bir ko'phadning harakati \(z\) ning eng katta kuchining harakati bilan bir xil bo‘ladi. Shuning uchun, bu integral o'zini tutishi kerak kabi ko'rinadi:
\[\int_{1}^{\infty }{{\frac{z}{{{z^4}}}\,dz}} = \int_{1}^{\infty }{{\frac{1}{{{z^3}}}\,dz}}\]Keyin, tomonidan haqiqat oldingi bo'limdan biz bu integral \(p = 3 > 1\) dan beri yaqinlashishini bilamiz.
Shuning uchun biz taxmin qilishimiz mumkinki, integral,
\[\int_{1}^{\infty }{{\frac{{z - 1}}{{{z^4} + 2{z^2}}}\,dz}}\]yaqinlashadi.
Shu paytdan boshlab ehtiyot bo'ling! Bu vaqtda ko‘pchilik talabalar yo‘l qo‘yadigan eng katta xatolardan biri, biz integral yig‘ilishlarni taxmin qilganimiz uchun, endi bilamizki, u yaqinlashadi va biz shuni qilishimiz kerak va ular keyingi masalaga o‘tishadi.
Talabalar tez-tez bu erda qiladigan yana bir xato, biz integralning birlashishini taxmin qilganimiz sababli, ular bajargan ish to'g'ri bo'lmasa ham, muammodagi ishning qolgan qismi bu taxminni qo'llab-quvvatlashiga ishonch hosil qilishadi.
Biz qilgan barcha narsa taxmin qilishdir. Endi kerak isbotlash bizning taxminimiz to'g'ri edi. Buni davom ettirish ahmoqona tuyulishi mumkin, lekin shuni yodda tutingki, bu darajada siz ishlayotgan muammolar juda oddiy bo'ladi (hatto ular har doim ham shunday ko'rinmasa ham). Bu shuni anglatadiki, ko'pincha (yoki hech bo'lmaganda tez-tez bunday muammolarga duch kelganingizdan so'ng) integralning yaqinlashishi yoki ajralishi aniq bo'ladi.
Boshqa bo'limlarda/ilovalarda bunday muammolar yuzaga kelganda, bizning taxminimiz to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligi har doim ham aniq bo'lmasligi mumkin va bu taxminni isbotlash uchun haqiqiy ishni talab qilishi mumkin. Shunday qilib, biz taxminni isbotlash uchun ishni haqiqatda bajarishga odatlangan bo'lishimiz kerak, shuning uchun kerak bo'lganda buni qila olamiz.
Bu muammolarning qiyin qismi ko'pincha taxmin qilish emas, balki taxminni isbotlashdir! Shunday qilib, muammoni davom ettiramiz.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, biz taqqoslash testi uchun kattaroq yoki kichikroq funktsiyani xohlaymizmi yoki yo'qligini aniqlashga yordam berish uchun ushbu bo'limning eslatmalarida maydon analogiyasidan foydalanganmiz.
Biz integral yaqinlashishini isbotlamoqchimiz, shuning uchun agar biz yaqinlashishini bilgan kattaroq funktsiyani topsak, maydon o'xshashligi bizga chekli () bo'lishini aytadi.i.e. cheksiz emas) kattaroq funktsiya ostidagi maydon miqdori.
Kichikroq bo'lgan bizning funktsiyamiz ham uning ostida cheklangan miqdordagi maydonga ega bo'ladi. Cheklangan miqdordagi maydon ichida cheksiz miqdordagi maydonga ega bo'lishning iloji yo'q!
E'tibor bering, qarama-qarshi vaziyat bizga foyda keltirmaydi. Agar biz yaqinlashishini biladigan kichikroq funktsiyani topsak (shuning uchun uning ostida cheklangan miqdordagi maydon bo'ladi), bizning funktsiyamiz (hozir kattaroq) yoki uning ostida cheksizroq maydonga ega bo'lishi mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, agar biz yaqinlashishini biladigan kichikroq funktsiyani topsak, bu bizning funktsiyamiz haqida hech narsa aytmaydi. Biroq, agar biz yaqinlashishini biladigan kattaroq funktsiyani topsak, bu bizning funktsiyamizni ham yaqinlashishga majbur qiladi.
Shuning uchun biz yaqinlashishini biladigan kattaroq funktsiyani topishimiz kerak.
3-qadam
Xo'sh, endi biz yaqinlashishini biladigan kattaroq funktsiyani topishimiz kerakligini bilamiz.
Demak, funksiyani integraldan boshlaylik. Bu kasr va biz bilamizki, suratni kattaroq yoki maxrajni kichikroq qilish orqali kasrni kattalashtirishimiz mumkin.
E'tibor bering, \(z > 1\) uchun (biz buni integral chegaralaridan taxmin qilishimiz mumkin) bizda,
\[z - 1 < z\]Shuning uchun bizda,
\[\frac{{z - 1}}{{{z^4} + 2{z^2}}} < \frac{z}{{{z^4} + 2{z^2}}} = \frac{1}{{{z^3} + 2z}}\]chunki biz suratni kattaroq deb bilgan narsa bilan almashtirdik.
4-qadam
Aynan shu vaqtda talabalar yana ko'pincha bunday muammo bilan xato qilishadi. Surat yoki maxrajni bitta manipulyatsiya qilgandan so'ng, ular manipulyatsiyani to'xtatadilar va yangi funktsiya birlashishi kerakligini e'lon qiladilar (chunki biz buni xohlaymiz) va keyingi masalaga o'tishadi.
Shunga qaramay, biz buni qilishimiz kerakligini eslaylik bilish yangi funktsiya yaqinlashadi va biz yaqinlashishini biladigan funktsiyaga hali erisha olmadik. Biz yaqinlashishini biladigan funktsiyaga o'tish uchun biz funktsiyani yana bir manipulyatsiya qilishimiz kerak.
Yana shuni yodda tutingki, \(z > 1\) uchun bizda,
\[{z^3} + 2z > {z^3}\]Shuning uchun bizda,
\[\frac{1}{{{z^3} + 2z}} < \frac{1}{{{z^3}}}\]chunki biz maxrajni kichikroq deb bilgan narsa bilan almashtirdik.
5-qadam
Nihoyat, 3 va 4-bosqichlarning natijalarini birlashtirib, bizda,
\[\frac{{z - 1}}{{{z^4} + 2{z^2}}} < \frac{1}{{{z^3}}}\]va biz buni bilamiz,
\[\int_{1}^{\infty }{{\frac{1}{{{z^3}}}\,dz}}\]birlashadi. Keyin ushbu integraldagi funktsiya asl integraldagi funktsiyadan kattaroq bo'lganligi sababli, taqqoslash testi bizga shuni aytadi:
\[\int_{1}^{\infty }{{\frac{{z - 1}}{{{z^4} + 2{z^2}}}\,dz}}\]ham kerak birlashish.