Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, biz integral yaqinlashadimi yoki ajralib chiqadimi, deb taxmin qilishdir.

Maxrajdagi "-1" maxraj hajmini \(z\ gets really large and so hopefully it makes sense that we can guess that this integral should behave like,

MATHBLOCK1X

Then, by the fact from the previous section, we know that this integral diverges since \(p = 1 \le 1\) sifatida o'zgartirmaydi.

Shuning uchun biz taxmin qilishimiz mumkinki, integral,

\[\int_{3}^{\infty }{{\frac{{{z^2}}}{{{z^3} - 1}}\,dz}}\]

ajralib chiqadi.

Shu paytdan boshlab ehtiyot bo'ling! Bu vaqtda ko'pchilik talabalar qiladigan eng katta xatolardan biri bu integral ayirmalarni taxmin qilganimiz sababli, biz endi bilamizki, bu farqlanadi va biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa shu va ular keyingi masalaga o'tishadi.

Talabalar bu yerda tez-tez yo‘l qo‘yadigan yana bir xato shundan iboratki, biz integral ayirmalarini taxmin qilganimiz uchun, ular bajargan ishi to‘g‘ri bo‘lmasa ham, masaladagi ishning qolgan qismi bu taxminni qo‘llab-quvvatlashiga ishonch hosil qilishadi.

Biz qilgan barcha narsa taxmin qilishdir. Endi kerak isbotlash bizning taxminimiz to'g'ri edi. Buni davom ettirish ahmoqona tuyulishi mumkin, lekin shuni yodda tutingki, bu darajada siz ishlayotgan muammolar juda oddiy bo'ladi (hatto ular har doim ham shunday ko'rinmasa ham). Bu shuni anglatadiki, ko'pincha (yoki hech bo'lmaganda tez-tez bunday muammolarga duch kelganingizdan so'ng) integralning yaqinlashishi yoki ajralishi aniq bo'ladi.

Boshqa bo'limlarda/ilovalarda bunday muammolar yuzaga kelganda, bizning taxminimiz to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligi har doim ham aniq bo'lmasligi mumkin va bu taxminni isbotlash uchun haqiqiy ishni talab qilishi mumkin. Shunday qilib, biz taxminni isbotlash uchun ishni haqiqatda bajarishga odatlangan bo'lishimiz kerak, shuning uchun kerak bo'lganda buni qila olamiz.

Bu muammolarning qiyin qismi ko'pincha taxmin qilish emas, balki taxminni isbotlashdir! Shunday qilib, muammoni davom ettiramiz.

2-qadam

Eslatib o'tamiz, biz taqqoslash testi uchun kattaroq yoki kichikroq funktsiyani xohlaymizmi yoki yo'qligini aniqlashga yordam berish uchun ushbu bo'limning eslatmalarida maydon analogiyasidan foydalanganmiz.

Biz integral ajralishini isbotlamoqchimiz, shuning uchun biz bilgan kichikroq funktsiyani topsak, maydon analogiyasi kichikroq funktsiya ostida cheksiz miqdordagi maydon bo'lishini aytadi.

Kattaroq bo'lgan bizning funktsiyamiz uning ostida cheksiz miqdordagi maydonga ega bo'ladi. Cheksiz miqdordagi maydonni qamrab oladigan cheklangan miqdordagi maydonga ega bo'lishning iloji yo'q!

E'tibor bering, qarama-qarshi vaziyat bizga foyda keltirmaydi. Agar biz ajralib turadigan kattaroq funktsiyani topsak (shuning uchun uning ostida cheksiz miqdordagi maydon bo'ladi), bizning funktsiyamiz (hozir kichikroq) cheklangan miqdordagi maydonga yoki uning ostida cheksiz maydonga ega bo'lishi mumkin.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz farq qiladigan kattaroq funktsiyani topsak, bu bizning funktsiyamiz haqida hech narsa aytmaydi. Ammo, agar biz farqlashini biladigan kichikroq funktsiyani topsak, bu bizning funktsiyamizni ham ajratishga majbur qiladi.

Shuning uchun biz ajralib chiqadigan kichikroq funktsiyani topishimiz kerak.

3-qadam

Xo'sh, endi biz bir-biridan farq qiladigan kichikroq funktsiyani topishimiz kerakligini bilamiz.

Demak, funksiyani integraldan boshlaylik. Bu kasr va biz maxrajni kattaroq qilish orqali kasrni kichikroq qilishimiz mumkinligini bilamiz. Shuni ham yodda tutingki, \(z > 3\) uchun (biz buni integral chegaralaridan taxmin qilishimiz mumkin) bizda,

\[{z^3} - 1 < {z^3}\]

Shuning uchun bizda,

\[\frac{{{z^2}}}{{{z^3} - 1}} > \frac{{{z^2}}}{{{z^3}}} = \frac{1}{z}\]

chunki biz maxrajni kattaroq deb bilgan narsa bilan almashtirdik.

4-qadam

Nihoyat, biz bilamizki,

\[\int_{3}^{\infty }{{\frac{1}{z}\,dz}}\]

farqlanadi. Keyin ushbu integraldagi funktsiya asl integraldagi funktsiyadan kichikroq bo'lganligi sababli, taqqoslash testi bizga shuni aytadi:

\[\int_{3}^{\infty }{{\frac{{{z^2}}}{{{z^3} - 1}}\,dz}}\]

ham kerak ajralish.