7.8-bo'lim : Noto'g'ri integrallar
4. Quyidagi integral yaqinlashish yoki ayrilish kerakligini aniqlang. Agar integral yaqinlashsa, uning qiymatini aniqlang.
\[\int_{1}^{2}{{\frac{{4w}}{{\sqrt[3]{{{w^2} - 4}}}}\,dw}}\]Yechim
Birinchidan, \(w = 2\) da integranda nolga bo'linish (va shuning uchun uzilish) mavjudligiga e'tibor bering va bu integratsiyaning yuqori chegarasi. Biz bilamizki, bu uzilish mavjud ekan, biz integralni bajara olmaymiz. Shuning uchun, avvalo, uzilishni quyidagicha yo'q qilishimiz kerak:
\[\int_{1}^{2}{{\frac{{4w}}{{\sqrt[3]{{{w^2} - 4}}}}}}\,dw = \mathop {\lim }\limits_{t \to \,{2^ - }} \int_{1}^{t}{{\frac{{4w}}{{\sqrt[3]{{{w^2} - 4}}}}\,dw}}\]Shuni unutmangki, bu turdagi integrallarning chegaralari bir tomonlama chegaralar bo'lishi kerak. Integratsiya oralig'i \(\left[ {1,2} \right]\) bo'lgani uchun bizni faqat \(t\) ning 2 dan kichik qiymatlari qiziqtiradi, shuning uchun biz bu faktni aks ettirish uchun chap chegaradan foydalanishimiz kerak.
2-qadam
Keyinchalik, integralni bajaramiz. Biz integratsiya jarayoniga ko'p tushuntirishlar/tafsilotlar kiritmaymiz. Shu nuqtaga kelib, sizning integratsiya qobiliyatingiz juda yaxshi bo'ladi deb taxmin qilinadi. Agar integratsiya qobiliyatingiz biroz zanglagan deb topsangiz, orqaga qaytib, oldingi tegishli bo'limlardan ba'zi mashqlarni bajarishingiz kerak.
Bunday holda, biz oddiy hisob-kitob I almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin. Mana integratsiya ishi.
\[\int{{\frac{{4w}}{{\sqrt[3]{{{w^2} - 4}}}}\,dw}} = 3{\left( {{w^2} - 4} \right)^{\frac{2}{3}}} + c\]E'tibor bering, biz bu erda aniq integral qilmadik. Limitlar bizning integralni qanday bajarishimizga ta'sir qilmaydi va shuning uchun biz keyingi bosqichga qadar ular bilan ishlashni to'xtatdik.
3-qadam
OK, endi integralning chegaralari haqida qayg'uraylik.
\[\int_{1}^{2}{{\frac{{4w}}{{\sqrt[3]{{{w^2} - 4}}}}}}\,dw = \mathop {\lim }\limits_{t \to \,{2^ - }} \left. {\left( {3{{\left( {{w^2} - 4} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)} \right|_1^t = \mathop {\lim }\limits_{t \to \,{2^ - }} \left( {3{{\left( {{t^2} - 4} \right)}^{\frac{2}{3}}} - 3{{\left( { - 3} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)\]4-qadam
Endi biz oldingi bosqichdagi javobimizdagi limitni hisoblashimiz kerak. Mana ish chegarasi.
\[\int_{1}^{2}{{\frac{{4w}}{{\sqrt[3]{{{w^2} - 4}}}}}}\,dw = \mathop {\lim }\limits_{t \to \,{2^ - }} \left( {3{{\left( {{t^2} - 4} \right)}^{\frac{2}{3}}} - 3{{\left( { - 3} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right) = - 3{\left( { - 3} \right)^{\frac{2}{3}}} = {\left( { - 3} \right)^{\frac{5}{3}}}\]5-qadam
Yakuniy qadam - javobni yozish!
Bunday holda, oldingi bosqichda biz hisoblagan chegara mavjud edi va cheklangan edi (i.e. cheksizlik emas). Shuning uchun integral birlashadi va uning qiymati \({\left( { - 3} \right)^{\frac{5}{3}}}\).