7.8-bo'lim : Noto'g'ri integrallar
2. Quyidagi integral yaqinlashadimi yoki ayiriladimi, aniqlang. Agar integral yaqinlashsa, uning qiymatini aniqlang.
\[\int_{{ - \infty }}^{0}{{\left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}}\]Yechim
Birinchidan, chegaralardan birida cheksizlik mavjud ekan, biz integralni bajara olmasligimizni esga olishimiz kerak. Shunday qilib, biz cheksizlikni quyidagi tarzda yo'q qilishimiz kerak:
\[\int_{{ - \infty }}^{0}{{\left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \, - \infty } \int_{t}^{0}{{\left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}}\]E'tibor bering, bu qadam haqiqatan ham ushbu integrallar uchun kerak! Ba'zi integrallar uchun biz asosiy mantiqdan foydalanishimiz va javob olish uchun abadiylikda "baholashimiz" mumkin. Biroq, bunday noto'g'ri integrallarning ko'pini shunday qilib bo'lmaydi! Bu shunday hollarda cheksiz chegara bilan kurashishimiz mumkinligiga ishonch hosil qilishning yagona yo'li.
Shunday qilib, agar bu biz abadiylikda "baholashimiz" mumkin bo'lgan integrallardan biri bo'lsa ham, biz buni amalga oshirish mumkin bo'lmaganlar uchun buni qilish odatiga ega bo'lishimiz kerak.
2-qadam
Keyinchalik, integralni bajaramiz. Biz integratsiya jarayoniga ko'p tushuntirishlar/tafsilotlar kiritmaymiz. Shu nuqtaga kelib, sizning integratsiya qobiliyatingiz juda yaxshi bo'ladi deb taxmin qilinadi. Agar integratsiya qobiliyatingiz biroz zanglagan deb topsangiz, orqaga qaytib, oldingi tegishli bo'limlardan ba'zi mashqlarni bajarishingiz kerak.
Bunday holda, bu integralni baholash uchun qismlar bo'yicha integratsiya qilishimiz kerak. Mana integratsiya ishi.
\[\begin{align*}u & = 1 + 2x & \hspace{0.25in} \to & \hspace{0.25in} & du & = 2dx\\ dv & = {{\bf{e}}^{ - x}}\,dx & \hspace{0.25in} \to & \hspace{0.25in} & v & = - {{\bf{e}}^{ - x}}\end{align*}\] \[\int{{\left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} = - \left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}} + 2\int{{{{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} = - \left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}} - 2{{\bf{e}}^{ - x}} + c = - \left( {3 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}} + c\]E'tibor bering, biz bu erda aniq integral qilmadik. Limitlar bizning integralni qanday bajarishimizga ta'sir qilmaydi va shuning uchun biz keyingi bosqichga qadar ular bilan ishlashni to'xtatdik.
3-qadam
OK, endi integralning chegaralari haqida qayg'uraylik.
\[\int_{{ - \infty }}^{0}{{\left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \,\, - \infty } \left. {\left( { - \left( {3 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}} \right)} \right|_t^0 = \mathop {\lim }\limits_{t \to \, - \infty } \left( {\left( {3 + 2t} \right){{\bf{e}}^{ - t}} - 3} \right)\]4-qadam
Endi biz oldingi bosqichdagi javobimizdagi limitni hisoblashimiz kerak. Bu holda biz birinchi atama manfiy cheksizlikka borishini ko'rishimiz mumkin, chunki u faqat manfiy cheksizlikka o'tadigan bir omil va cheksizlikka ketadigan boshqa omilning mahsulotidir. Shunday qilib, to'liq chegara ham salbiy cheksizlik bo'ladi, chunki doimiy ikkinchi muddat chegaraning yakuniy qiymatiga ta'sir qilmaydi.
\[\int_{{ - \infty }}^{0}{{\left( {1 + 2x} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \, - \infty } \left( {3 + 2t} \right){{\bf{e}}^{ - t}} - \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } 3 = \left( { - \infty } \right)\left( \infty \right) - 3 = - \infty - 3 = - \infty \]5-qadam
Yakuniy qadam - javobni yozish!
Bunday holda, biz oldingi bosqichda hisoblagan chegara mavjud va salbiy cheksizlik edi. Shuning uchun integral farqlanadi.