8.4-bo'lim : Gidrostatik bosim va kuch
3. Quyidagi rasmda ko'rsatilgandek suvga botgan plastinkadagi gidrostatik kuchni toping. Bu holda plastinka qirralarning uzunligi 2 bo'lgan kvadratdan hosil bo'lgan olmosning yuqori yarmidir.
Ko'k rangli "quti" ning yuqori qismini plastinka suvga botgan suv yuzasi deb hisoblang. Shuni ham yodda tutingki, rasmdagi o'lchamlar plitani tasvirga yaxshiroq moslashtirish uchun o'lchovga mos kelmaydi. Rasmda berilgan uzunliklar metrda.
Yechim
Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - plitaning suv ostidagi qismi uchun eksa tizimini aniqlash.
Bunday holda, bizda kvadratdan shakllangan olmosning yuqori yarmi bo'lganligi sababli, o'q tizimini olmosning o'rtasida markazlashtirish qulay bo'lib tuyuldi.
Muammoning qolgan qismiga yordam berish uchun plastinka uchun qandaydir eksa tizimini aniqlash har doim foydalidir. O'q tizimini haqiqatda aniqlashning ko'plab usullari mavjud va biz ularni qanday aniqlashimiz o'z navbatida muammoning qolgan qismini qanday ishlashimizga ta'sir qiladi. Bir ta'rifda boshqasiga nisbatan alohida hech qanday maxsus narsa yo'q, lekin ko'pincha "osonroq" o'q ta'rifi mavjud va "osonroq" deganda biz ishning qolgan qismini biroz osonlashtiradigan narsani nazarda tutamiz.
2-qadam
Eslatmalarda qilganimizdek, biz plastinkani \(n\) kengligidagi \(\Delta \,y\) gorizontal chiziqlariga ajratamiz va har bir chiziq \(i = 1,2,3, \ldots n\) bilan \(\left[ {{y_{i - 1}},\,\,{y_i}} \right]\) oralig'ida aniqlanishiga ruxsat beramiz. Nihoyat, biz \(y_i^*\) oraliqdagi istalgan nuqta bo'lishiga ruxsat beramiz va shuning uchun chiziqdagi biron bir nuqta bo'ladi.
Quyida plastinkaning yana bir eskizi bor, faqat bu safar biz plastinkada tasvirlangan vakilli chiziqni oldik. E'tibor bering, chiziq chiziq bo'lishi kerak bo'lganidan "qalinroq", ammo bu chiziq qanday ko'rinishini ko'rishni osonlashtiradi va barcha tegishli uzunliklarni aniq ro'yxatga oladi.
Bizda bu nuqtada aniqlash uchun bir nechta miqdor bor. Buning uchun plastinkaning bir tomoni uchun tenglamaga ega bo'lish qulay bo'ladi. Keling, birinchi kvadrantdagi tomonni ko'rib chiqaylik. Mana, plastinkaning o'sha qismining qisqacha eskizi.
Endi, yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, biz kvadratdan hosil bo'lgan olmosning yuqori yarmiga egamiz va shuning uchun biz plastinka tomonidan birinchi kvadrantda hosil bo'lgan "uchburchak" gipotenuzasi 2 bo'lgan teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak bo'lishi kerakligini va to'g'ri burchakdan boshqa ikkita ichki burchak \(\frac{\pi }{4}\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun, uchburchakning pastki/chap tomoni bo'lishi kerak,
\[{\mbox{side}} = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \]Bu shuni anglatadiki, biz \(x\) va \(y\) kesishmalari mos ravishda \(\left( {\sqrt 2 ,0} \right)\) va \(\left( {0,\sqrt 2 } \right)\) ekanligini bilamiz va shuning uchun gipotenuzani ifodalovchi chiziq uchun tenglama quyidagicha bo'lishi kerak:
\[y = \sqrt 2 - x\]Mayli, rasmdagi turli miqdorlarni olaylik.
Biz \(x_i^*\) dan boshlaymiz. Buni to'g'ridan-to'g'ri yuqoridagi tenglamadan olishimiz mumkin, agar biz \(x_i^*\) da bo'lsak, \(y\) qiymati \(y_i^*\) bo'lishi kerakligini tan olamiz. Boshqacha qilib aytganda, ularni tenglamaga qo'shish va yechish shuni beradi:
\[y_i^* = \sqrt 2 - x_i^*\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x_i^* = \sqrt 2 - y_i^*\]E'tibor bering, har bir chiziqning kengligi \(y_i^*\) bo'yicha, keyin,
\[2x_i^* = 2\left( {\sqrt 2 - y_i^*} \right)\]Keyin \(D\) ni olamiz. Avval biz \(D\) suv yuzasidan bizning rasmimizdagi \(x\) o'qigacha bo'lgan masofa ekanligini ko'rishimiz mumkin. Biz bilamizki, suv yuzasidan plastinkaning yuqori qismigacha bo'lgan masofa 4 metrni tashkil qiladi. Bundan tashqari, yuqorida biz plastinkaning yuqori nuqtasi \(x\) o'qi ustidagi \(\sqrt 2 \) masofa ekanligini aniqladik. Shunday qilib, bizda,
\[D = 4 + \sqrt 2 \]Nihoyat, suv yuzasi ostidagi har bir chiziqning chuqurligi,
\[{d_i} = D - y_i^* = 4 + \sqrt 2 - y_i^*\]3-qadam
Biz tasma etarlicha yupqa deb taxmin qilamiz, shuning uchun chiziqdagi gidrostatik bosim doimiy bo'ladi va quyidagicha ifodalanadi:
\[{P_i} = \rho g{d_i} = \left( {1000} \right)\left( {9.81} \right)\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right) = 9810\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right)\]Bu, o'z navbatida, har bir chiziqdagi gidrostatik kuch quyidagi bilan berilganligini anglatadi:
\[\begin{align*}{F_i} = {P_i}{A_i} & = \left[ {9810\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right)} \right]\left[ {\left( {2x_i^*} \right)\left( {\Delta \,y} \right)} \right]\\ & = \left[ {9810\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right)} \right]\left[ {2\left( {\sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\Delta \,y} \right)} \right]\\ & = 19620\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\Delta \,y} \right)\end{align*}\]4-qadam
Endi biz plastinkadagi umumiy gidrostatik kuchni har bir chiziqdagi kuch yig'indisi sifatida taxmin qilishimiz mumkin. Yoki,
\[F \approx \sum\limits_{i = 1}^n {19620\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\Delta \,y} \right)} \]Endi biz \(n\) ning cheksizlikka borishiga ruxsat berish orqali plastinkadagi haqiqiy gidrostatik kuchning ifodasini olishimiz mumkin.
Yoki boshqacha qilib aytganda, biz chegarani quyidagicha qabul qilamiz,
\[F = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {19620\left( {4 + \sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\sqrt 2 - y_i^*} \right)\left( {\Delta \,y} \right)} \]5-qadam
Nihoyat, biz aniq integralning ta'rifidan bilamizki, bu biz osonlikcha hisoblashimiz mumkin bo'lgan quyidagi aniq integraldan boshqa narsa emas.
\[\begin{align*}F & = \int_{0}^{{\sqrt 2 }}{{19620\left( {4 + \sqrt 2 - y} \right)\left( {\sqrt 2 - y} \right)dy}}\\ & = \int_{0}^{{\sqrt 2 }}{{19620\left( {{y^2} - \left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)y + 2 + 4\sqrt 2 } \right)dy}}\\ & = \left. {19620\left( {\frac{1}{3}{y^3} - \left( {2 + \sqrt 2 } \right){y^2} + \left( {2 + 4\sqrt 2 } \right)y} \right)} \right|_0^{\sqrt 2 } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{96,977.9N}}\end{align*}\]