Izohlarda qilganimizdek, biz plastinkani \(n\) kengligidagi \(\Delta \,x\) gorizontal chiziqlariga ajratamiz va har bir chiziq \(i = 1,2,3, \ldots n\) bilan \(\left[ {{x_{i - 1}},\,\,{x_i}} \right]\) oralig'ida aniqlanishiga ruxsat beramiz. Nihoyat, biz \(x_i^*\) oraliqdagi istalgan nuqta bo'lishiga ruxsat beramiz va shuning uchun chiziqda biron bir nuqta bo'ladi.

Quyida plastinkaning yana bir eskizi bor, faqat bu safar biz plastinkada tasvirlangan vakilli chiziqni oldik. E'tibor bering, chiziq chiziq bo'lishi kerak bo'lganidan "qalinroq", ammo bu chiziq qanday ko'rinishini ko'rishni osonlashtiradi va barcha tegishli uzunliklarni aniq ro'yxatga oladi.

Endi \(x_i^*\) chiziqni belgilaydigan oraliqdan bir nuqtadir va shuning uchun etarlicha yupqa chiziqlar uchun yuqoridagi rasmda ko'rsatilganidek, chiziq suv sathidan pastda joylashgan \(x_i^*\) nuqtasida bo'ladi deb taxmin qilish xavfsizdir. Boshqacha qilib aytganda, chiziq suv yuzasidan \(x_i^*\) masofasi.

Har bir chiziqning kengligi chiziqning chuqurligiga bog'liq bo'ladi va shuning uchun vaqtincha kenglikni \(a\) deb ataymiz.

Har bir chiziq uchun \(a\) qiymatini aniqlash uchun quyidagi o'xshash uchburchaklar to'plamini ko'rib chiqaylik.

Bu plastinkaning chap tomonidagi "bo'sh" bo'shliqning uchburchagi. Kattaroq uchburchakning umumiy balandligi plastinka bilan bir xil, ya'ni 3. Kattaroq uchburchakning umumiy kengligi 1,5 ga teng. Biz bu raqamga plastinkaning yuqori qismi pastki qismidan 3 metrga qisqaroq ekanligini va agar biz yuqori qismi pastki qismga mukammal tarzda joylashtirilgan deb hisoblasak, tepaning har ikki tomonida 1,5 metr "bo'sh" bo'sh joy bo'lishi kerakligini ko'rib chiqdik.

Kichikroq uchburchakning yuqori qismi plastinkadagi chiziqqa to'g'ri keladi. Kichikroq uchburchakning kengligini \(b\) deb ataymiz. va kichikroq uchburchakning balandligi har bir chiziq uchun \(3 - x_i^*\) bo'lishi kerak.

Ikki uchburchak o'xshash uchburchaklar bo'lgani uchun biz quyidagi tenglamaga egamiz.

\[\frac{b}{{3 - x_i^*}} = \frac{{1.5}}{3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}b = \frac{1}{2}\left( {3 - x_i^*} \right)\]

E'tibor bering, biz faqat plastinkaning chap tomonidagi bo'sh joyga qaraganimizda, biz plastinkaning o'ng tomonidagi bo'sh joy uchun deyarli bir xil uchburchakni olamiz. Faqatgina istisno, bu uchburchakning oyna tasviri bo'lishi mumkin edi.

Keling, plastinkaning rasmimizdagi chiziqning kengligiga qaytaylik. Yuqori qismi plitaning pastki qismida joylashgan deb faraz qilsak, bizda bo'lishi kerakligini ko'ramiz,

\[a = 7 - 2b = 7 - 2\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {3 - x_i^*} \right) = 4 + x_i^*\]

Biz tasma etarlicha yupqa deb taxmin qilamiz, shuning uchun chiziqdagi gidrostatik bosim doimiy bo'ladi va quyidagicha ifodalanadi:

\[{P_i} = \rho g{d_i} = \left( {1000} \right)\left( {9.81} \right)x_i^* = 9810x_i^*\]

Bu, o'z navbatida, har bir chiziqdagi gidrostatik kuch quyidagi bilan berilganligini anglatadi:

\[{F_i} = {P_i}{A_i} = \left( {9810x_i^*} \right)\left[ {\left( {4 + x_i^*} \right)\left( {\Delta \,x} \right)} \right] = 9810\left[ {4x_i^* + {{\left( {x_i^*} \right)}^2}} \right]\Delta \,x\]

Endi biz plastinkadagi umumiy gidrostatik kuchni har bir chiziqdagi kuch yig'indisi sifatida taxmin qilishimiz mumkin. Yoki,

\[F \approx \sum\limits_{i = 1}^n {9810\left[ {4x_i^* + {{\left( {x_i^*} \right)}^2}} \right]\Delta \,x} \]

Endi biz \(n\) ning cheksizlikka borishiga ruxsat berish orqali plastinkadagi haqiqiy gidrostatik kuchning ifodasini olishimiz mumkin.

Yoki boshqacha qilib aytganda, biz chegarani quyidagicha qabul qilamiz,

\[F = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {9810\left[ {4x_i^* + {{\left( {x_i^*} \right)}^2}} \right]\Delta \,x} \]

Nihoyat, biz aniq integralning ta'rifidan bilamizki, bu biz osonlikcha hisoblashimiz mumkin bo'lgan quyidagi aniq integraldan boshqa narsa emas.

\[F = \int_{0}^{3}{{9810\left( {4x + {x^2}} \right)dx}} = \left. {9810\left( {2{x^2} + \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^3 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{264,870N}}\]