HydrostaticPressure - 1-masala yechimi | MathModel.uz

8.4-bo'lim : Gidrostatik bosim va kuch

1. Quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, suvga botgan plastinkadagi gidrostatik kuchni toping.

Ko'k rangli "quti" ning yuqori qismini plastinka suvga botgan suv yuzasi deb hisoblang. Shuni ham yodda tutingki, rasmdagi o'lchamlar plitani tasvirga yaxshiroq moslashtirish uchun o'lchovga mos kelmaydi. Rasmda berilgan uzunliklar metrda.

A sketch of the plate and the water. The water is the shaded region and its surface is the horizontal line across the top. The plate is a rectangle that is 8 units wide and 6 units tall and it hangs vertically with its top edge 1 unit above the surface of the water.

Yechim

Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - plitaning suv ostidagi qismi uchun eksa tizimini aniqlash.

$A sketch of the plate with an axis system defined on it. The plate is a rectangle whose top edge sticks up above the surface of the water and the x-axis has been drawn pointing straight down with $x = 0$ at the surface of the water and $x = 5$ at the bottom of the plate, so that $x$ gives the depth below the surface.$

E'tibor bering, biz $x$ o'qini suv yuzasidan boshladik va buni amalga oshirish orqali $x$ suv yuzasi ostidagi plastinkadagi istalgan nuqtaning chuqurligini beradi. Bu, o'z navbatida, plastinkaning pastki qismi $x = 5$ tomonidan aniqlanishini anglatadi.

Muammoning qolgan qismiga yordam berish uchun plastinka uchun qandaydir eksa tizimini aniqlash har doim foydalidir. O'q tizimini haqiqatda aniqlashning ko'plab usullari mavjud va biz ularni qanday aniqlashimiz o'z navbatida muammoning qolgan qismini qanday ishlashimizga ta'sir qiladi. Bir ta'rifda boshqasiga nisbatan alohida hech qanday maxsus narsa yo'q, lekin ko'pincha "osonroq" o'q ta'rifi mavjud va "osonroq" deganda biz ishning qolgan qismini biroz osonlashtiradigan narsani nazarda tutamiz.

2-qadam

Izohlarda qilganimizdek, biz plastinkaning suv yuzasidan pastdagi qismini $\Delta \,x$ kengligidagi $n$ gorizontal chiziqlariga ajratamiz va har bir chiziq $i = 1,2,3, \ldots n$ bilan $\left[ {{x_{i - 1}},\,\,{x_i}} \right]$ oralig'ida aniqlanishiga ruxsat beramiz. Nihoyat, biz $x_i^*$ oraliqdagi istalgan nuqta bo'lishiga ruxsat beramiz va shuning uchun chiziqdagi biron bir nuqta bo'ladi.

Quyida plastinkaning yana bir eskizi bor, faqat bu safar biz plastinkada tasvirlangan vakilli chiziqni oldik. E'tibor bering, chiziq chiziq bo'lishi kerak bo'lganidan "qalinroq", ammo bu chiziq qanday ko'rinishini ko'rishni osonlashtiradi va barcha tegishli uzunliklarni aniq ro'yxatga oladi.

$A sketch of the plate with a representative horizontal strip drawn on it. The x-axis points straight down with $x = 0$ at the surface of the water and $x = 5$ at the bottom of the plate. The strip lies across the plate at a depth labeled $x_i^*$ below the surface, the width of the plate is labeled 8 and the distance from the strip down to the bottom of the plate is labeled $5 - x_i^*$.$

Endi $x_i^*$ chiziqni belgilaydigan oraliqdan bir nuqtadir va shuning uchun etarlicha yupqa chiziqlar uchun yuqoridagi rasmda ko'rsatilganidek, chiziq suv sathidan pastda joylashgan $x_i^*$ nuqtasida bo'ladi deb taxmin qilish xavfsizdir. Boshqacha qilib aytganda, chiziq suv yuzasidan $x_i^*$ masofasi.

Bundan tashqari, bizning plastinka to'rtburchaklar bo'lgani uchun, biz bilamizki, har bir chiziq kengligi 8 ga teng bo'ladi.

3-qadam

Biz tasma etarlicha yupqa deb taxmin qilamiz, shuning uchun chiziqdagi gidrostatik bosim doimiy bo'ladi va quyidagicha ifodalanadi:

\[{P_i} = \rho g{d_i} = \left( {1000} \right)\left( {9.81} \right)x_i^* = 9810x_i^*\]

Bu, o'z navbatida, har bir chiziqdagi gidrostatik kuch quyidagi bilan berilganligini anglatadi:

\[{F_i} = {P_i}{A_i} = \left( {9810x_i^*} \right)\left[ {\left( 8 \right)\left( {\Delta \,x} \right)} \right] = 78480x_i^*\Delta \,x\]

4-qadam

Endi biz plastinkadagi umumiy gidrostatik kuchni har bir chiziqdagi kuch yig'indisi sifatida taxmin qilishimiz mumkin. Yoki,

\[F \approx \sum\limits_{i = 1}^n {78480x_i^*\Delta \,x} \]

Endi biz $n$ ning cheksizlikka borishiga ruxsat berish orqali plastinkadagi haqiqiy gidrostatik kuchning ifodasini olishimiz mumkin.

Yoki boshqacha qilib aytganda, biz chegarani quyidagicha qabul qilamiz,

\[F = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {78480x_i^*\Delta \,x} \]

5-qadam

Nihoyat, biz aniq integralning ta'rifidan bilamizki, bu biz osonlikcha hisoblashimiz mumkin bo'lgan quyidagi aniq integraldan boshqa narsa emas.

\[F = \int_{0}^{5}{{78480x\,dx}} = \left. {39240{x^2}} \right|_0^5 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{981,000N}}\]