12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
9. \(x = 8 - 15t\), \(y = 9t\), \(z = 5 + 18t\) tomonidan berilgan chiziq va \(10x - 6y - 12z = 7\) tomonidan berilgan tekislik parallel, ortogonal yoki hech biri emasligini aniqlang.
Yechim
Keling, bu masalani \(\vec v = \left\langle { - 15,9,18} \right\rangle \) vektori chiziqqa parallel bo'lishini va \(\vec n = \left\langle {10, - 6, - 12} \right\rangle \) vektori tekislikka normal bo'lishiga e'tibor berishdan boshlaylik.
Endi chiziq va tekislikni va ularning tegishli vektorlarini tasavvur qilishga harakat qiling. Agar ikkita vektor bir-biriga ortogonal bo'lsa, chiziq va tekislik qanday ko'rinishga ega bo'lar edi? Agar ikkita vektor bir-biriga parallel bo'lsa, chiziq va tekislik qanday ko'rinishga ega bo'lar edi?
2-qadam
Agar ikkita vektor bir-biriga ortogonal bo'lsa, chiziq tekislikka parallel bo'ladi. Agar siz bu haqda o'ylasangiz, bu mantiqiy. Agar \(\vec v\) \(\vec n\) ga ortogonal bo'lsa, u tekislikka parallel bo'lishi kerak, chunki \(\vec n\) tekislikka ortogonaldir. Keyin chiziq \(\vec v\) ga parallel bo'lgani uchun u ham tekislikka parallel bo'lishi kerak.
Shunday qilib, keling, bu erda tez nuqta mahsulotini qilaylik.
\[\vec v\centerdot \vec n = - 420\]Nuqta mahsuloti nolga teng emas va shuning uchun ikkita vektor bir-biriga ortogonal emas. Shuning uchun, chiziq va tekislik parallel emas.
3-qadam
Agar ikkita vektor bir-biriga parallel bo'lsa, chiziq tekislikka ortogonal bo'ladi. Agar siz bu haqda o'ylasangiz, bu mantiqiy. Chiziq \(\vec v\) ga parallel, biz hozirgina \(\vec n\) ga parallel deb taxmin qildik. Biz \(\vec n\) tekislikka ortogonal ekanligini ham bilamiz va shuning uchun \(\vec n\) ga parallel bo'lgan har qanday narsa (masalan, chiziq) ham tekislikka ortogonal bo'lishi kerak.
Bunday holda, biz ikkita vektor o'rtasida quyidagi munosabatga ega bo'lamiz.
\[\vec v = - \frac{3}{2}\vec n\]Ikki vektor parallel va shuning uchun chiziq va tekislik ortogonaldir.