12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
7. \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {4 + t, - 1 + 8t,3 + 2t} \right\rangle \) tomonidan berilgan chiziq \(2x - y + 3z = 15\) tomonidan berilgan tekislik bilan kesishishini aniqlang yoki ularning kesishmasligini ko'rsating.
Yechim
Agar chiziq va tekislik kesishsa, \(t\) qiymati bo'lishi kerak, agar biz ushbu \(t\) ni chiziq tenglamasiga qo'shsak, tekislikda joylashgan nuqtaga ega bo'lamiz. Biz shuni ham bilamizki, agar \(\left( {x,y,z} \right)\) nuqta tekislikda bo'lsa, u holda koordinatalar tekislik tenglamasini qanoatlantiradi.
2-qadam
Agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, chiziqdagi barcha nuqtalarning koordinatalarini quyidagicha yozish mumkin:
\[\left( {4 + t, - 1 + 8t,3 + 2t} \right)\]\(t\) ning barcha qiymatlari uchun.
3-qadam
Shunday qilib, keling, chiziqdagi nuqtalarning "koordinatalarini" tekislik tenglamasiga kiritamiz:
\[2\left( {4 + t} \right) - \left( { - 1 + 8t} \right) + 3\left( {3 + 2t} \right) = 15\]4-qadam
Keling, buni \(t\) uchun quyidagicha hal qilaylik,
\[18 = 15\,\,??\]5-qadam
Hmm...
Shunday qilib, biz hozirgina 18 va 15 raqamlari bir xil son ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'ldik yoki bu erda boshqa narsa bor.
Shubhasiz, 18 va 15 bir xil raqam emas va shuning uchun boshqa narsa sodir bo'lishi kerak. Aslida, bularning barchasi biz 3-bosqichda yozgan tenglamani qondiradigan \(t\) yo'qligini anglatadi. Bu o'z navbatida shuni anglatadiki, chiziq va tekislik kesishmaydi.