11.4-bo'lim : O'zaro mahsulot
3. \(P = \left( {3,0,1} \right)\), \(Q = \left( {4, - 2,1} \right)\) va \(R = \left( {5,3, - 1} \right)\) nuqtalari joylashgan tekislikka ortogonal vektorni toping.
Yechim
Bizga birinchi navbatda tekislikka parallel bo'lgan ikkita vektor kerak. Bizga berilgan nuqtalardan (barchasi tekislikda) foydalanib, biz tezda tekislikka parallel bo'lgan bir nechta vektorlarni olishimiz mumkin. Quyidagi ikkita vektordan foydalanamiz.
\[\overrightarrow {PQ} = \left\langle {1, - 2,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\overrightarrow {PR} = \left\langle {2,3, - 2} \right\rangle \]2-qadam
Endi biz bilamizki, har qanday ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasi ikkita asl vektorga ortogonal bo'ladi. 1-qadamdagi ikkita vektor tekislikka parallel bo'lgani uchun (ular haqiqatda bu holda tekislikda yotadi!) Biz bilamizki, o'zaro ko'paytma ham tekislikka ortogonal yoki normal bo'lishi kerak.
Shunday qilib, biz eslatmalarda ishlatgan "hiyla" dan foydalanib, o'zaro mahsulot,
\[\begin{align*}\overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\1&{ - 2}&0\\2&3&{ - 2}\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\1&{ - 2}\\2&3\end{array}\\ & = 4\vec i + 0\vec j + 3\vec k - \left( { - 2\vec j} \right) - 0\vec i - \left( { - 4\vec k} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{4\vec i + 2\vec j + 7\vec k}}\end{align*}\]