8.1-bo'lim : Ark uzunligi
4. \(x = 4{\left( {3 + y} \right)^2}\) , \(1 \le y \le 4\) uzunligini aniqlang.
Yechim
Qaysi \(ds\) dan foydalanishimiz aytilmagani uchun biz qaysi birini ishlatishni hal qilishimiz kerak. Bu holda funktsiya \(ds\) dan \(y\) nuqtai nazaridan foydalanish uchun o'rnatiladi.
Agar biz \(y\) funksiyasini hal qilsak (buni \(x\) nuqtai nazaridan \(ds\) dan foydalanish uchun qilishimiz kerak edi) funktsiyaga kvadrat ildiz qo‘yamiz va yoy uzunligi masalalarida ularni hal qilish qiyin bo‘lishi mumkin.
Shunday qilib, keling, berilgan funktsiyaning hosilasini olamiz va \(ds\) formulasiga ulaymiz.
\[\frac{{dx}}{{dy}} = 8\left( {3 + y} \right)\] \[ds = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dx}}{{dy}}} \right]}^2}} \,dy = \sqrt {1 + {{\left[ {8\left( {3 + y} \right)} \right]}^2}} \,dy = \sqrt {1 + 64{{\left( {3 + y} \right)}^2}} \,dy\]E'tibor bering, biz atamani ildiz ostida kvadratga aylantirmadik. Bu integratsiya jarayonini ancha murakkablashtiradi, shuning uchun biz uni avvalgidek qoldirishimiz kerak.
2-qadam
Bunday holda, integral uchun chegaralarni olish uchun bizga maxsus narsa kerak emas. Bizning \(ds\) tanlovimiz \(dy\)-ni o'z ichiga oladi, ya'ni bizga integral uchun \(y\) chegaralari kerak va muammo bayonida bizga etarlicha yaxshi berilgan.
Demak, yoy uzunligini beruvchi integral,
\[L = \int_{{}}^{{}}{{ds}} = \int_{1}^{4}{{\sqrt {1 + 64{{\left( {3 + y} \right)}^2}} \,dy}}\]3-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Bunday holda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa trigni almashtirishdan foydalanishdir. Biz integratsiya ishiga juda ko'p tushuntirishlar bermaymiz, shuning uchun agar sizga triglarni almashtirish bo'yicha biroz yangilanish kerak bo'lsa, o'sha bo'limga qaytib, bir nechta mashq muammolarini hal qilishingiz kerak.
Bizga kerak bo'ladigan almashtirish,
\[3 + y = \frac{1}{8}\tan \theta \,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,dy = \frac{1}{8}{\sec ^2}\theta \,d\theta \]Kvadrat ildiz bilan to'g'ri ishlash uchun biz \(y\) chegaralarini \(\theta \) chegaralariga aylantirishimiz kerak. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}y = & 1:\,\,\,\,\,\,\,\,4 = \frac{1}{8}\tan \theta \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\tan \theta = 32\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\theta = {\tan ^{ - 1}}\left( {32} \right) = 1.5396\\ y = & 4:\,\,\,\,\,\,\,\,7 = \frac{1}{8}\tan \theta \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\tan \theta = 56\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\theta = {\tan ^{ - 1}}\left( {56} \right) = 1.5529\end{align*}\]Endi kvadrat ildiz bilan shug'ullanamiz.
\[\sqrt {1 + 64{{\left( {3 + y} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 64{{\left( {\frac{1}{8}\tan \theta } \right)}^2}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } = \sqrt {{{\sec }^2}\theta } = \left| {\sec \theta } \right|\]Yuqoridagi ishlardan biz \(\theta \) \(1.5396 \le \theta \le 1.5529\) diapazonida ekanligini bilamiz. Bu birinchi va to'rtinchi kvadrantlarda va kosinus (va shuning uchun sekant) bu diapazonda ijobiydir. Shunday qilib,
\[\sqrt {1 + 64{{\left( {3 + y} \right)}^2}} = \sec \theta \]Bularning barchasini birlashtirganda,
\[L = \int_{1}^{4}{{\sqrt {1 + 64{{\left( {3 + y} \right)}^2}} \,dy}} = \frac{1}{8}\int_{{1.5396}}^{{1.5529}}{{{{\sec }^3}\theta \,d\theta }}\]Integralni baholash,
\[L = \int_{1}^{4}{{\sqrt {1 + 64{{\left( {3 + y} \right)}^2}} \,dy}} = \left. {\frac{1}{{16}}\left( {\tan \theta \sec \theta + \ln \left| {\tan \theta + \sec \theta } \right|} \right)} \right|_{1.5396}^{1.5529} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{130.9570}}\]E'tibor bering, agar siz bu erda to'rttadan ko'proq o'nli kasrlarni ishlatgan bo'lsangiz (biz ushbu muammolar uchun ishlatadigan o'nli kasrlarning standart soni) siz biroz boshqacha javob olgan bo'lishingiz mumkin. "Aniq" javob olish uchun kompyuterdan foydalanish 132.03497085 beradi.
Bunday turli xil javoblar bu kabi muammolar bilan haqiqiy muammo bo'lishi mumkin va agar siz raqamlarni haddan tashqari yaxlitlashtirsangiz, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan muammolarni ko'rsatadi.
Albatta, ko'pincha "aniq" javob olish uchun qancha kasrli kasr kerakligini bilmaslik muammosi ham mavjud. Ko'p hollarda 4 kasr etarli, lekin bu etarli bo'lmagan holatlar mavjud (masalan, bu kabi). Ko'pincha eng yaxshi garov bu "aniq" javob olish uchun eng yaxshi imkoniyatga ega bo'lish uchun imkon qadar ko'proq kasrdan foydalanishdir.