8.1-bo'lim : Ark uzunligi
3. \(y = 7{\left( {6 + x} \right)^{\frac{3}{2}}}\) , \(189 \le y \le 875\) uzunligini aniqlang.
Yechim
Qaysi \(ds\) dan foydalanishimiz aytilmagani uchun biz qaysi birini ishlatishni hal qilishimiz kerak. Bu holda funksiya \(ds\) dan \(x\) nuqtai nazaridan foydalanish uchun sozlangan. Shuni ham yodda tutingki, agar biz \(x\) funksiyasini hal qilsak (buni \(y\) nuqtai nazaridan \(ds\)dan foydalanish uchun qilishimiz kerak) bizda hali ham kasr ko‘rsatkichi bo‘ladi va uni \(ds\) formulasiga ulaganimizdan keyin hosila unchalik yaxshi ishlamaydi.
Shunday qilib, keling, berilgan funktsiyaning hosilasini olamiz va \(ds\) formulasiga ulaymiz.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{21}}{2}{\left( {6 + x} \right)^{\frac{1}{2}}}\] \[\begin{align*}ds & = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{21}}{2}{{\left( {6 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]}^2}} \,dx = \sqrt {1 + \frac{{441}}{4}\left( {6 + x} \right)} \,dx\\ & = \sqrt {\frac{{2650}}{4} + \frac{{441}}{4}x} \,dx = \frac{1}{2}\sqrt {2650 + 441x} \,dx\end{align*}\]Biz integratsiyani osonlashtiradigan yoki qilmasligi mumkin bo'lgan biroz soddalashtirdik. Bu, ehtimol, integratsiyani amalga oshirayotgan odamga va ular bilan engish oson bo'lgan narsaga bog'liq bo'ladi. Gap shundaki, biz bu erda foydalanishimiz mumkin bo'lgan \(ds\) ning bir nechta shakllari mavjud. Hamma bir xil javob beradi.
2-qadam
Keyinchalik, biz integral uchun chegaralar bilan shug'ullanishimiz kerak. Birinchi bosqichda biz tanlagan \(ds\)da \(dx\) mavjud va bu bizning integralimiz uchun \(x\) chegaralari kerakligini anglatadi. Biroq, muammo bayonida bizga \(y\) chegaralari berildi. Bu shuni anglatadiki, biz integralni davom ettirishdan oldin ularni \(x\) ga aylantirishimiz kerak.
Bularni aylantirish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ularni muammo bayonotida berilgan funktsiyaga ulash va mos keladigan \(x\) uchun hal qilish. Shunday qilib,
\[\begin{align*}y = & 189:\,\,\,\,\,\,\,\,\,189 = 7{\left( {6 + x} \right)^{\frac{3}{2}}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,6 + x = {27^{\frac{2}{3}}} = 9\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,x = 3\\ y = & 875:\,\,\,\,\,\,\,\,\,875 = 7{\left( {6 + x} \right)^{\frac{3}{2}}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,6 + x = {125^{\frac{2}{3}}} = 25\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,x = 19\end{align*}\]Shunday qilib, \(x\) ning mos diapazonlari: \(3 \le x \le 19\).
3-qadam
Yoy uzunligini beruvchi integral u holda,
\[L = \int_{{}}^{{}}{{ds}} = \int_{3}^{{19}}{{\frac{1}{2}\sqrt {2650 + 441x} \,dx}}\]4-qadam
Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Bunday holda, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, Calc I-ni tez almashtirishdan foydalanishdir. Tasdiqlash uchun integratsiya tafsilotlarining aksariyatini sizga qoldiramiz.
Egri chiziqning yoy uzunligi,
\[L = \int_{3}^{{19}}{{\frac{1}{2}\sqrt {2650 + 441x} \,dx}} = \left. {\frac{1}{{1323}}{{\left( {2650 + 441x} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_3^{19} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{{1323}}\left( {{{11029}^{\frac{3}{2}}} - {{3973}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 686.1904}}\]