1.6-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, II qism
9. \(10{x^2}\sin \left( {3x + 2} \right) = 7x\sin \left( {3x + 2} \right)\) ning barcha yechimlarini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
E'tibor bering, agar biz barcha shartlarni bir tomonga o'tkazsak, tenglamadan \(x\) va sinusni faktor qilishimiz mumkin. Shunday qilib,
\[\begin{align*}10{x^2}\sin \left( {3x + 2} \right) - 7x\sin \left( {3x + 2} \right) & = 0\\ x\left( {10x - 7} \right)\sin \left( {3x + 2} \right) & = 0\end{align*}\]Endi bizda nolga teng bo'lgan uchta omil mahsuloti bor va shuning uchun asosiy algebraik xususiyatlar bo'yicha biz ega bo'lishimiz kerakligini bilamiz,
\[x = 0, \hspace{0.25in} 10x - 7 = 0,\hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}\sin \left( {3x + 2} \right) = 0\]Dastlabki bosqichda faqat \(x\) yoki ikkala tomondan sinusni bekor qilish xatosiga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu turdagi tenglamalardan ehtiyot bo'ling. Agar shunday qilsangiz, \(x = 0\) yechimini va biz \(\sin \left( {3x + 2} \right) = 0\) yechimini o‘tkazib yuborgan bo‘lar edingiz.
Tenglamalarni yechishda shuni yodda tutish kerakki, agar siz bekor qilayotgan narsa hech qachon nolga teng bo'lmasligini aniq bilmasangiz, ikkala tomondan ham hech narsani bekor qila olmaysiz.
2-qadam
Haqiqatan ham birinchi tenglama bilan hech narsa qilishimiz shart emas va shuning uchun biz to'g'ridan-to'g'ri ikkinchi tenglamaga o'tishimiz mumkin (bu ham hech qanday muammo tug'dirmaydi). Ikkinchi tenglamani yechish natijasida,
\[x = \frac{7}{{10}}\]Endi uchinchi tenglamani ko'rib chiqaylik. Ushbu tenglama ushbu bo'limda avval hal qilingan tenglamalarga o'xshaydi. Shuning uchun, biz har biri uchun yechim jarayonini eslab qolishingiz mumkin deb o'ylaymiz va biz unchalik ko'p tafsilotlarni kiritmaymiz. Agar jarayonga ishonchingiz komil bo'lmasa, oldingi bo'limga qaytib, ushbu muammoni hal qilishda davom etishdan oldin ba'zi muammolar bilan shug'ullanishingiz kerak.
Birlik doiradan biz ko'rishimiz kerakki,
\[3x + 2 = 0 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}3x + 2 = \pi + 2\pi n\hspace{0.25in}\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]E'tibor bering, biz buni yanada kamaytirishimiz mumkin,
\[3x + 2 = \pi n\hspace{0.25in}\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, bu tenglamaning yechimlari:
\[x = \frac{{\pi n - 2}}{3}\hspace{0.25in}\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Bularning barchasini birlashtirib, quyidagi echimlar to'plamini beradi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 0, \hspace{0.25in} x = \frac{7}{{10}}, \hspace{0.25in} {\rm{OR}} \hspace{0.25in} x = \frac{{\pi n - 2}}{3}\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }}\]Agar interval berilgan bo'lsa, biz \(n\) qiymatlarini o'rnatishni davom ettiramiz va bu oraliqda qaysi echimlar to'g'ri kelishini aniqlashimiz mumkin. Bizga oraliq berilmagani uchun bu biz imkon qadar uzoqdir.
E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.