1.6-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, II qism
7. \(4{\csc ^2}\left( {1 - t} \right) + 6 = 25\csc \left( {1 - t} \right)\) ning barcha yechimlarini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Bu tenglama bizdan hech qachon faktor qilish so'ralgan har qanday narsadan juda farq qilishi mumkin, ammo bu biz faktor qilishimiz mumkin bo'lgan narsadir. Avval quyidagilarni ko'paytuvchilarga ajratish haqida o'ylab ko'ring,
\[4{x^2} + 6 = 25x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4{x^2} - 25x + 6 = \left( {4x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\]Agar biz ushbu algebraik tenglamani faktorlarga ajrata olsak, berilgan tenglamani xuddi shu tarzda faktorlar qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}4{\csc ^2}\left( {1 - t} \right) + 6 & = 25\csc \left( {1 - t} \right)\\ 4{\csc ^2}\left( {1 - t} \right) - 25\csc \left( {1 - t} \right) + 6 & = 0\\ \left( {4\csc \left( {1 - t} \right) - 1} \right)\left( {\csc \left( {1 - t} \right) - 6} \right) & = 0\end{align*}\]Endi bizda nolga teng bo'lgan ikkita omil mahsuloti bor va shuning uchun asosiy algebraik xususiyatlar bo'yicha biz ega bo'lishimiz kerakligini bilamiz,
\[4\csc \left( {1 - t} \right) - 1 = 0\hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}\csc \left( {1 - t} \right) - 6 = 0\]2-qadam
Bu tenglamalarning har biri oldingi bobda va ushbu bobda ilgari yechilgan tenglamalarga o'xshaydi. Shuning uchun, biz har biri uchun yechim jarayonini eslab qolishingiz mumkin deb o'ylaymiz va biz unchalik ko'p tafsilotlarni kiritmaymiz. Agar jarayonga ishonchingiz komil bo'lmasa, oldingi bo'limga qaytib, ushbu muammoni hal qilishda davom etishdan oldin ba'zi muammolar bilan shug'ullanishingiz kerak.
Biz birinchi tenglamadan boshlaymiz, kosekantni ajratamiz va osonroq yechish uchun sinus bo'yicha tenglamaga aylantiramiz. Shunday qilib,
\[\csc \left( {1 - t} \right) = \frac{1}{4}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin \left( {1 - t} \right) = 4 > 1\]Endi biz \( - 1 \le \sin \theta \le 1\) ni bilganimiz uchun birinchi tenglamaning yechimlari borligini bilamiz.
Endi ikkinchi tenglamani yechamiz.
\[\csc \left( {1 - t} \right) = 6\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin \left( {1 - t} \right) = \frac{1}{6}\]Kalkulyatorimiz yordamida biz quyidagilarni olamiz:
\[1 - t = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{6}} \right) = 0.1674\]Birlik doirasiga tez nazar tashlasak, \(\left[ {0,2\pi } \right]\) diapazonidagi ikkinchi burchak \(\pi - 0.1674 = 2.9742\) ekanligini ko'rsatadi.
Ikkinchi tenglamaning barcha yechimlari u holda,
\[\begin{align*}1 - t & = 0.1674 + 2\pi n & \hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}1 - t & = 2.9742 + 2\pi n & \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\t & = 0.8326 - 2\pi n & \hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.55in}t & = - 1.9742 - 2\pi n & \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Bizda birinchi tenglamaning yechimlari bo'lmaganligi sababli, asl tenglamaning barcha yechimlari shunday bo'ladi:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = 0.8326 - 2\pi n \hspace{0.25in} {\rm{OR}} \hspace{0.25in} t = - 1.9742 - 2\pi n \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }}\]Biz ko'paytuvchilarga ajratishdan so'ng olingan ikkita tenglamadan faqat bittasi yechimini olganimizdan juda hayajonlang. Bu ba'zida sodir bo'ladi va shuning uchun ular sodir bo'lganda biz bunday holatlarga tayyor bo'lishimiz kerak.
Agar interval berilgan bo'lsa, biz \(n\) qiymatlarini o'rnatishni davom ettiramiz va bu oraliqda qaysi echimlar to'g'ri kelishini aniqlashimiz mumkin. Bizga oraliq berilmagani uchun bu biz imkon qadar uzoqdir.
E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.