1.6-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, II qism
10. \(\displaystyle \left( {2t - 3} \right)\tan \left( {\frac{{6t}}{{11}}} \right) = 15 - 10t\) ning barcha yechimlarini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Bu bo'limdagi boshqalardan ko'ra faktor uchun biroz qiyinroq bo'lishi mumkin, lekin uni faktorlarga ajratish mumkin. Avval hamma narsani tenglamaning bir tomonida oling va keyin tenglamadan \(2t - 3\) ni quyidagi tarzda ajratib olishimiz mumkinligiga e'tibor bering,
\[\begin{align*}\left( {2t - 3} \right)\tan \left( {\frac{{6t}}{{11}}} \right) + 10t - 15 & = 0\\ \left( {2t - 3} \right)\tan \left( {\frac{{6t}}{{11}}} \right) + 5\left( {2t - 3} \right) & = 0\\ \left( {2t - 3} \right)\left( {\tan \left( {\frac{{6t}}{{11}}} \right) + 5} \right) & = 0\end{align*}\]Endi bizda nolga teng bo'lgan ikkita omil mahsuloti bor va shuning uchun asosiy algebraik xususiyatlar bo'yicha biz ega bo'lishimiz kerakligini bilamiz,
\[2t - 3 = 0\hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}\tan \left( {\frac{{6t}}{{11}}} \right) + 5 = 0\]\(2t - 3\) ni ikkala tomondan bekor qilish xatosiga yo'l qo'ymaslik uchun bu turdagi tenglamalardan ehtiyot bo'ling. Agar shunday qilsangiz, birinchi tenglamadagi yechimni o'tkazib yuborgan bo'lar edingiz.
Tenglamalarni yechishda shuni yodda tutish kerakki, agar siz bekor qilayotgan narsa hech qachon nolga teng bo'lmasligini aniq bilmasangiz, ikkala tomondan ham hech narsani bekor qila olmaysiz.
2-qadam
Birinchi tenglamani yechish,
\[t = \frac{3}{2}\]Endi biz ikkinchi tenglamaga o'tamiz va bu tenglama oldingi bo'limda echilgan tenglamalarga o'xshashligini ta'kidlashimiz mumkin. Shuning uchun, biz har biri uchun yechim jarayonini eslab qolishingiz mumkin deb o'ylaymiz va biz unchalik ko'p tafsilotlarni kiritmaymiz. Agar jarayonga ishonchingiz komil bo'lmasa, oldingi bo'limga qaytib, ushbu muammoni hal qilishda davom etishdan oldin ba'zi muammolar bilan shug'ullanishingiz kerak.
Birinchidan, tangensni ajratish,
\[\tan \left( {\frac{{6t}}{{11}}} \right) = - 5\]Kalkulyatorimiz yordamida biz quyidagilarni olamiz:
\[\frac{{6t}}{{11}} = {\tan ^{ - 1}}\left( { - 5} \right) = - 1.3734\]Birlik doirasi haqidagi bilimlarimizdan biz ushbu burchakka mos keladigan musbat burchak \(2\pi - 1.3734 = 4.9098\) ekanligini ko'rishimiz mumkin. Bu burchaklardan ham foydalanish mumkin, lekin biz minus belgisini yo'qotmaslik uchun ijobiy burchakdan foydalanamiz. Shuningdek, \(\left[ {0,2\pi } \right]\) diapazonidagi ikkinchi burchak \(\pi + \left( { - 1.3734} \right) = 1.7682\).
Nihoyat, bu tenglamaning yechimlari:
\[\begin{align*}\frac{{6t}}{{11}} & = 1.7682 + 2\pi n & \hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}\frac{{6t}}{{11}} & = 4.9098 + 2\pi n & \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\t & = 3.2417 + \frac{{11\pi n}}{3} & \hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.45in}t & = 9.0013 + \frac{{11\pi n}}{3} & \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Bularning barchasini birlashtirib, quyidagi echimlar to'plamini beradi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = \frac{3}{2}, \hspace{0.25in} t = 3.2417 + \frac{{11\pi n}}{3}, \hspace{0.25in} {\rm{OR}} \hspace{0.25in} t = 9.0013 + \frac{{11\pi n}}{3}\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }}\]Agar interval berilgan bo'lsa, biz \(n\) qiymatlarini o'rnatishni davom ettiramiz va bu oraliqda qaysi echimlar to'g'ri kelishini aniqlashimiz mumkin. Bizga oraliq berilmagani uchun bu biz imkon qadar uzoqdir.
E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.