1.6-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, II qism
1. \(3 - 14\sin \left( {12t + 7} \right) = 13\) ning barcha yechimlarini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Sinus argumenti bu tenglamada biz avvalgi bobda ko'rganimizga qaraganda biroz murakkabroq, ammo yechim jarayoni bir xil. Shuning uchun, biz oldingi bo'limdagi jarayonni esladingiz va biz u erdagi echimlarga kiritilgan barcha maslahatlar yoki juda ko'p tafsilotlarga muhtoj emassiz deb taxmin qilamiz. Agar jarayonga ishonchingiz komil bo'lmasa, oldingi bo'limga qaytishingiz va bo'limni davom ettirishdan oldin u erdagi ba'zi muammolarni hal qilishingiz kerak.
Birinchidan, tenglamaning bir tomonidagi sinusni ajratib olish,
\[\sin \left( {12t + 7} \right) = - \frac{5}{7}\]Kalkulyator yordamida biz olamiz,
\[12t + 7 = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{5}{7}} \right) = - 0.7956\]Birlik doirasi haqidagi bilimlarimizdan biz ushbu burchakka mos keladigan musbat burchak \(2\pi - 0.7956 = 5.4876\) ekanligini ko'rishimiz mumkin. Bu burchaklardan ham foydalanish mumkin, lekin biz minus belgisini yo'qotmaslik uchun ijobiy burchakdan foydalanamiz. Bundan tashqari, birlik doirasiga tez nazar tashlasak, \(\left[ {0,2\pi } \right]\) diapazonidagi ikkinchi burchak \(\pi + 0.7965 = 3.9372\) bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
Endi sinus bu qiymatga ega bo'lgan barcha mumkin bo'lgan burchaklar,
\[12t + 7 = 3.9372 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\rm{OR }}\hspace{0.25in}12t + 7 = 5.4876 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(t\) uchun ularning har birini hal qilishdir va biz tenglamaning barcha echimlariga ega bo'lamiz. Shunday qilib,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = - 0.2552 + \frac{{\pi n}}{6}\hspace{0.25in}{\rm{OR }}\hspace{0.25in}t = - 0.1260 + \frac{{\pi n}}{6}\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }}\]Agar interval berilgan bo'lsa, biz \(n\) qiymatlarini o'rnatishni davom ettiramiz va bu oraliqda qaysi echimlar to'g'ri kelishini aniqlashimiz mumkin. Bizga oraliq berilmagani uchun bu biz imkon qadar uzoqdir.
E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.