1.5-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
8. \(\left[ { - 2, - \frac{1}{2}} \right]\) da joylashgan \(12\sin \left( {7y} \right) + 11 = 3 + 4\sin \left( {7y} \right)\) yechimini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Sinusni (bir koeffitsient bilan) tenglamaning bir tomonida ajratib olish,
\[\sin \left( {7y} \right) = - 1\]2-qadam
Agar buning yechimini olish uchun kalkulyatordan foydalanish kerak bo'lsa, bu yaxshi, lekin bu ham ulardan biri
Chunki biz bu muammoda sinus bilan shug‘ullanamiz va \(y\) o‘qi birlik aylanada sinusni ifodalashini bilamiz, biz \(y\) koordinatasi –1 bo‘lgan burchak(lar)ni qidirmoqdamiz. Ushbu \(y\) koordinatasiga ega bo'lgan yagona burchak \(\frac{{3\pi }}{2} = 4.7124\) bo'ladi.
E'tibor bering, biz hozirgacha ishlagan boshqa muammolardan farqli o'laroq, bu yagona burchak bo'ladi. \(\left[ {0,2\pi } \right]\) diapazonida sinus bu qiymatga ega bo'ladigan boshqa burchak yo'q. Bunchalik qulflanib qolmang odatiy \(\left[ {0,2\pi } \right]\) da ikkita mumkin bo'lgan burchakka ega bo'lgan holda, bu bitta yechim holatlari aylanib chiqqach, siz noto'g'ri ish qilgan bo'lishingiz kerak deb qaror qilasiz. Ular vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi va biz ular paydo bo'lganda ular bilan kurashishimiz kerak.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalardagi muhokamadan shuni bilamizki, yuqoridagi burchakka ega bo'lgach, burchakka "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[7y = 4.7124 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 7 ga bo'lish kifoya va biz oxirgi bosqichda yordam berish uchun hamma narsani o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}y & = 0.6732 + \frac{{2\pi n}}{7} & \hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ & = 0.6732 + 0.8976n & \hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]4-qadam
Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) yoki \(n = 0\) ning ijobiy qiymatlarini kiritsak, biz ijobiy echimlarga ega bo'lamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, keling, \(n = - 1\) dan boshlaylik va nimaga erishganimizni ko'rib chiqamiz.
\[\begin{array}{lclcl}{n = - 1:\,}&{\require{cancel} \hspace{0.70in} \xcancel{{y = - 0.2244}} > - 0.5}\\{n = - 2:}&{y = - 1.122}\\{n = - 3:}&{\hspace{0.70in} \xcancel{{y = - 2.0196}} < - 2}\end{array}\]Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning faqat bitta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y = - 1.122}}\]E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.