1.5-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
7. \(\left[ {20,45} \right]\) da joylashgan \(\displaystyle 17 - 3\sec \left( {\frac{z}{2}} \right) = 2\) yechimini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Tenglamaning bir tomonida sekantni (bir koeffitsient bilan) izolyatsiya qilish,
\[\sec \left( {\frac{z}{2}} \right) = 5\]2-qadam
Yechimlarni olish uchun sekantning kosinus bo'yicha ta'rifini esga olish va tenglamani kosinus ishtirokida bittaga qayta yozish ancha oson bo'ladi. Shunday qilib,
\[\sec \left( {\frac{z}{2}} \right) = \frac{1}{{\cos \left( {\frac{z}{2}} \right)}} = 5\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\cos \left( {\frac{z}{2}} \right) = \frac{1}{5}\]Kosinus ishtirokidagi tenglamaning yechimi(lar)i sekant ishtirokidagi tenglamaning yechim(lari) bilan bir xil, shuning uchun u bilan ishlash osonroq bo'ladi. Kalkulyatorimiz yordamida biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\frac{z}{2} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 1.3694\]Endi biz bu muammoda kosinus bilan shug‘ullanmoqdamiz va biz \(x\) o‘qi birlik aylanada kosinusni ifodalashini bilamiz va shuning uchun biz \(\frac{1}{5}\) ning \(x\) koordinatasiga ega bo‘lgan burchaklarni qidirmoqdamiz. Bu shuni anglatadiki, biz birinchi (bu bizning kalkulyatorimiz bergan) va to'rtinchi kvadrantda burchaklarga ega bo'lamiz. Mana bu holat uchun birlik doirasi.
Birlik doirasining simmetriyasidan biz ikkinchi burchak uchun -1.3694 yoki \(2\pi - 1.3694 = 4.9138\) dan foydalanishimiz mumkinligini ko'rishimiz mumkin. Har biri bir xil echimlar to'plamini beradi. Biroq, minus belgilarini yo'qotish oson bo'lganligi sababli, biz ikkinchi yechim uchun ijobiy burchakdan foydalanamiz.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalardagi muhokamadan bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\( + \,2\pi n\) for \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[\frac{z}{2} = 1.3694 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in}\frac{z}{2} = 4.9138 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 2 ga ko'paytirishimiz kerak va biz oxirgi bosqichda yordam berish uchun hamma narsani o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}z & = 2.7388 + 4\pi n& \hspace{0.25in}\,\,\,{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & z = 9.8276 + 4\pi n & \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ & = 2.7388 + 12.5664n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & \hspace{0.1in}= 9.8276 + 12.5664n\hspace{0.25in}&n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]4-qadam
Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarga ega bo'lamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shuni ham yodda tutingki, agar biz \(n = 0\) dan foydalansak, biz hali ham intervalda bo'lmaymiz va shuning uchun ishni \(n = 1\) dan boshlaylik.
\[\begin{array}{lclcl}{n = 1:\,}&{\require{cancel} \xcancel{{z = 15.3052}} < 20\,}& \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} &{z = 22.3940}\\{n = 2:}&{z = 27.8716\,}& \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} &{z = 34.9604}\\{n = 3:}&{z = 40.4380\,}& \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} &{\xcancel{{z = 47.5268}} > 45}\end{array}\]E'tibor bering, \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalarga yana 12,5664 qo'shdik va yuqoridagi natijalarni tezkor tekshirish orqali biz uzoqqa borishimiz shart emasligini ko'rishimiz mumkin. Bundan tashqari, biz ushbu muammoda ko'rganimizdek, berilgan oraliqdagi echimlardan faqat bittasi berilgan oraliqda bo'lishi mumkin, shuning uchun bu sodir bo'lganda tashvishlanmang.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning to‘rtta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = 22.3940,\,\,27.8716,\,\,34.9604,\,\,40.4380}}\]E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.