1.5-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
5. \(\left[ { - 10,10} \right]\) da joylashgan \(\displaystyle 9\cos \left( {\frac{{4z}}{9}} \right) + 21\sin \left( {\frac{{4z}}{9}} \right) = 0\) yechimini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Bizda sinus ham, kosinus ham borligi sababli, buni tangensga tushirish mantiqiy. Shunday qilib, tenglamaning bir tomonidagi tangensga (bir koeffitsient bilan) kamaytirish,
\[\tan \left( {\frac{{4z}}{9}} \right) = - \frac{3}{7}\]2-qadam
Birinchidan, kalkulyatorimiz yordamida biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\frac{{4z}}{9} = {\tan ^{ - 1}}\left( { - \frac{3}{7}} \right) = - 0.4049\]Ushbu bo'limning 5-misolida muhokama qilganimizdek, tangensni o'z ichiga olgan tenglamalar uchun ikkinchi burchak har doim \(\pi \) va birinchi burchak bo'ladi. Shunday qilib, \(\pi + \left( { - 0.4049} \right) = 2.7367\) ikkinchi burchak bo'ladi.
Bundan tashqari, minus belgilarini yo'qotish juda oson bo'lgani uchun, biz bilamizki, har qanday burchak plyus \(2\pi \) birinchi burchakdagi minus belgisini yo'q qilish uchun terminal chizig'i asl burchak bilan bir xil bo'lgan boshqa burchakni beradi. Shunday qilib, birinchi burchak uchun ishlaydigan boshqa burchak \(2\pi + \left( { - 0.4049} \right) = 5.8783\). E'tibor bering, salbiy burchakdan foydalanishda hech qanday yomon narsa yo'q va agar siz u bilan ishlashni tanlasangiz, siz bir xil echimlarni olasiz. Kalkulyatordan olingan burchakdagi minus belgisini tasodifan yo'qotib qo'ymaslik uchungina ijobiy burchakdan foydalanamiz.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalardagi muhokamadan bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\( + \,2\pi n\) for \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[\frac{{4z}}{9} = 2.7367 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in}\frac{{4z}}{9} = 5.8783 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni \(\frac{9}{4}\) ga ko'paytirish kifoya qiladi va biz oxirgi bosqichda yordam berish uchun hamma narsani o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}z & = 6.1576 + \frac{{9\pi n}}{2} & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & \hspace{0.15in} z = 13.2262 + \frac{{9\pi n}}{2}\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ & = 6.1576 + 14.1372n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & \hspace{0.25in} = 13.2262 + 14.1372n\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]4-qadam
Endi barcha echimlarni topamiz.
\[\begin{array}{lclcl}{n = - 1:\,} & {z = - 7.9796\,} & \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} &{z = - 0.9110}\\{n = 0:} &{z = 6.1576\,}& \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} & \hspace{0.35in} {\require{cancel} \xcancel{{z = 13.2262}} > 10}\end{array}\]E'tibor bering, \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalarga yana 14,1372 qo'shdik/ayitardik (\(n\) belgisiga qarab). Yuqoridagi natijalarni tezkor tekshirish bizga uzoqqa borishimiz shart emasligini va \(n\) ning boshqa qiymatlari bilan bezovta qilmasligimizni tezda ko'rsatadi. Bundan tashqari, biz ushbu muammoda ko'rganimizdek, berilgan oraliqdagi echimlardan faqat bittasi berilgan oraliqda bo'lishi mumkin, shuning uchun bu sodir bo'lganda tashvishlanmang.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning uchta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = - 7.9796,\,\, - 0.9110,\,\,6.1576}}\]E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.