1.5-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
4. \(\left[ {0,2} \right]\) da joylashgan \(\displaystyle 4\sin \left( {6z} \right) + \frac{{13}}{{10}} = - \frac{3}{{10}}\) yechimini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Sinusni (bir koeffitsient bilan) tenglamaning bir tomonida ajratib olish,
\[\sin \left( {6z} \right) = - \frac{2}{5}\]2-qadam
Birinchidan, kalkulyatorimiz yordamida biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[6z = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{2}{5}} \right) = - 0.4115\]Endi biz bu muammoda sinus bilan shug‘ullanmoqdamiz va biz \(y\) o‘qi birlik aylanada sinusni ifodalashini bilamiz va shuning uchun biz \( - \frac{2}{5}\) ning \(y\) koordinatasiga ega bo‘lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz to'rtinchi (bu bizning kalkulyatorimiz bergan) va uchinchi kvadrantda burchaklarga ega bo'lamiz. Mana bu holat uchun birlik doirasi.
Birlik aylanasining simmetriyasidan biz ikkinchi burchak manfiy \(x\) o'qi bilan 0,4115 burchak hosil qilishini va shuning uchun ikkinchi burchak \(\pi + 0.4115 = 3.5531\) bo'lishini ko'rishimiz mumkin. Shuningdek, birinchi burchakni ifodalovchi musbat burchak ustidagi birlik aylanasida qayd etilganidek (i.e. to'rtinchi kvadrantdagi burchak) \(2\pi - 0.4115 = 5.8717\). Bu erda biz ijobiy yoki salbiy burchakdan foydalanishimiz mumkin va biz bir xil echimlarni olamiz. Biroq, ko'pincha minus belgilarini yo'qotish oson bo'lganligi sababli, biz bu erda ishimiz uchun to'rtinchi kvadrantdagi musbat burchakdan foydalanamiz.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan shuni bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\( + \,2\pi n\) for \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[6z = 3.5531 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in}6z = 5.8717 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 6 ga bo'lish kifoya va biz oxirgi bosqichda yordam berish uchun hamma narsani o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}z & = 0.5922 + \frac{{\pi n}}{3} & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & z = 0.9786 + \frac{{\pi n}}{3}\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ & = 0.5922 + 1.0472n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} &\hspace{0.10in} = 0.9786 + 1.0472n\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]4-qadam
Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, keling, \(n = 0\) dan boshlaylik va nimaga erishganimizni ko'rib chiqamiz.
\[\begin{array}{lclcl}{n = 0:\,} & {z = 0.5922\,} & \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} & {z = 0.9786}\\{n = 1:} & {z = 1.6394\,} & \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} & {\require{cancel} \hspace{0.35in} \xcancel{{z = 2.0258}} > 2}\end{array}\]E'tibor bering, \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalarga yana 1,0472 qo'shdik va buni \(n = 1\) qadamidagi natijalarga qilish orqali biz intervaldan tashqarida bo'lgan echimlarni olamiz va shuning uchun hatto \(n = 2\) ni ulash uchun hech qanday sabab yo'q. Bundan tashqari, biz ushbu muammoda ko'rganimizdek, berilgan oraliqdagi echimlardan faqat bittasi berilgan oraliqda bo'lishi mumkin, shuning uchun bu sodir bo'lganda tashvishlanmang.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning uchta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = 0.5922,\,\,0.9786,\,\,1.6394}}\]E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.