1.5-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
2. \(\left[ {0,38} \right]\) da joylashgan \(\displaystyle 6 + 5\cos \left( {\frac{x}{3}} \right) = 10\) yechimini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Kosinusni (bir koeffitsient bilan) tenglamaning bir tomonida ajratib olish,
\[\cos \left( {\frac{x}{3}} \right) = \frac{4}{5}\]2-qadam
Birinchidan, kalkulyatorimiz yordamida biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\frac{x}{3} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{5}} \right) = 0.6435\]Endi biz bu muammoda kosinus bilan shug‘ullanmoqdamiz va bilamizki, \(x\) o‘qi birlik doiradagi kosinusni ifodalaydi va shuning uchun biz \(\frac{4}{5}\) ning \(x\) koordinatasiga ega bo‘lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz birinchi (bu bizning kalkulyatorimiz bergan) va to'rtinchi kvadrantda burchaklarga ega bo'lamiz. Mana bu holat uchun birlik doirasi.
Birlik doirasining simmetriyasidan biz ikkinchi burchak uchun -0,6435 yoki \(2\pi - 0.6435 = 5.6397\) dan foydalanishimiz mumkinligini ko'rishimiz mumkin. Har biri bir xil echimlar to'plamini beradi. Biroq, minus belgilarini yo'qotish oson bo'lganligi sababli, biz ikkinchi yechim uchun ijobiy burchakdan foydalanamiz.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan shuni bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[\frac{x}{3} = 0.6435 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in}\frac{x}{3} = 5.6397 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 3 ga ko'paytirish kifoya qiladi va biz oxirgi bosqichda yordam berish uchun hamma narsani o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}x & = 1.9305 + 6\pi n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} x & = 16.9191 + 6\pi n\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ & = 1.9305 + 18.8496n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.35in} & = 16.9191 + 18.8496n\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]4-qadam
Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, keling, \(n = 0\) dan boshlaylik va nimaga erishganimizni ko'rib chiqamiz.
\[\begin{array}{lclcl}{n = 0:} & \hspace{0.25in} & {x = 1.9305\,}& \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} &{x = 16.9191}\\{n = 1:} & \hspace{0.25in} & {x = 20.7801\,}& \hspace{0.25in} {{\mbox{OR}}} \hspace{0.25in} &{x = 35.7687}\end{array}\]E'tibor bering, \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalarga yana 18,8496 qo'shdik va buni \(n = 1\) qadamidagi natijalarga qilish orqali biz intervaldan tashqarida bo'lgan echimlarni olamiz va shuning uchun hatto \(n = 2\) ni ulash uchun hech qanday sabab yo'q.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning to‘rtta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 1.9305,\,\,16.9191,\,\,20.7801,\,\,35.7687}}\]E'tibor bering, bu erda ishlatgan o'nli kasrlar miqdoriga qarab, javoblaringiz yaxlitlash xatosi tufayli ulardan biroz farq qilishi mumkin. Har qanday farqlar ozgina bo'lishi kerak va faqat 4 atrofida paydo bo'lishi kerakth o'nlik kasr yoki shunga o'xshash.